Sur la démonstration de la proposition XX, 
liv. /, et de quelques autres propositions 
fondamentales de la géométrie. 
La proposition XX du livre I n’est qu’un cas particulier 
du fameux postulatum sur lequel Euclide a établi la théorie 
des parallèles, ainsi que le théorème sur la somme des 
trois angles du triangle. Ce postulatum n’a point été encore 
démontré d’une maniéré entièrement géométrique et indé 
pendante de la considération de l’infini ; ce qu’il faut 
attribuer sans doute à l’imperfection de la définition de la 
ligne droite, qui sert de hase aux éléments. Mais si on 
considéré cet objet sous un point de vue plus abstrait, 
l’analyse offre un moyen très-simple de démontrer rigou 
reusement cette proposition, ainsi que les autres proposi 
tions fondamentales de la géométrie. C’est ce que nous 
allons développer avec tout le détail nécessaire, en com 
mençant par le théorème sur la somme des trois angles du 
triangle. 
On démontre immédiatement par la superposition, et 
sans aucune proposition préliminaire que deux triangles 
sont égaux, lorsqu ’ils ont un côté égal adjacent à deux 
angles égaux chacun à chacun. Appelons p le côté dont il 
s’agit, A et B les deux angles adjacents , C le troisième 
angle. Il faut donc que l’angle C soit entièrement déter 
miné , lorsqu’on connaît les angles A et B, avec le côté p ; 
car, si plusieurs angles C pouvaient correspondre aux trois 
données A, B,p, il y aurait autant de triangles différents 
qui auraient un côté égal adjacent à deux angles égaux, ce 
qui est impossible : donc l’angle C doit être une fonction 
déterminée des trois quantités A, B ,p; ce que j’exprime 
ainsi, C = <p : ( A , B, p ). 
Soit l’angle droit égal à l’unité, alors les angles A, B, C, 
seront des nombres compris entre o et 2 ; et puisque C — 
<P : (A, B ,/>) , je dis que la ligne p ne doit point entrer dans 
la fonction (p. En effet on a vu que C doit être entièrement