NOTE II. 
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D AC : or , dans le triangle rectangle B AD , les deux angles 
BAD, ABD, valent ensemble un angle droit; dans le trian 
gle rectangle DAC, les deux angles DAC, ACD, valent 
aussi un angle droit. Donc les quatre réunis , ou seulement 
les trois BAC, ABC, ACB, valent ensemble deux angles 
droits ; donc dans tout triangle la somme des trois angles 
est égale à deux angles droits. 
On voit par-là que ce théorème, considéré a priori, ne 
dépend point d’un enchaînement de propositions, et qu’il 
se déduit immédiatement du principe de l’homogénéité ; 
principe qui doit avoir lieu dans toute relation entre des 
quantités quelconques. Mais poursuivons, et faisons voir 
qu’on peut tirer de la même source les autres théorèmes 
fondamentaux de la géométrie. 
Conservons les mêmes dénominations que ci-dessus, et 
appelons de plus m le côté opposé à l’angle A, et n le côté 
opposé à l’angle B. La quantité m doit être entièrement 
déterminée par les seules quantités A, B ,p; donc m est 
une fonction de A, B,/>, et ^ en est une aussi, de sorte 
qu’on peut faire ^ ; ( A, B,/?). Mais est un nom 
bre, ainsi que A et B; donc la fonction ne doit point 
contenir la ligne p , e t on a simplement ~ r=r^ : (A, B), 
ou rn—p iji : ( A, B). On a donc semblablement n—p ^ : 
(B, A). 
Soit maintenant un autre triangle formé avec les mêmes 
angles A, B, C, auxquels soient opposés les côtés m', n!, p', 
respectivement. Puisque A et B ne changent pas, on aura 
dans ce nouveau triangle m'z=zp' (A, B), et n'z=zp' ^ : 
(B , A). Donc m ; m' ;; n : n' :: p : p'. Donc, dans les trian 
gles équiangles, les côtés opposés aux angles égaux sont 
proportionnels. 
De cette proposition générale on déduit comme cas 
particulier celle que nous avons supposée dans le texte, 
pour la démonstration de la proposition XX. En effet, 
%, 35. les triangles AEG, AML ont deux angles égaux , chacun à 
chacun , savoir, l’angle A commun, et un angle droit. Donc 
ces triangles sont équiangles ; donc ou a la proportion