NOTE IX. 
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iiers, c’est-à-dire, la possibilité d’arranger un certain nombre 
de plans égaux de maniéré qu’il en résulte un solide uniforme 
dans toute son étendue. Il nous a paru que dans d’autres 
ouvrages on suppose cet arrangement existant, sans trop 
en rendre raison ; ou bien on ne le démontre, comme a 
fait Euclide, que par des figures compliquées et difficiles 
à entendre. 
Le problème de déterminer l’inclinaison de deux faces 
adjacentes du polyèdre, et celui de déterminer les rayons 
des sphères inscrite et circonscrite, sont réduits dans les 
problèmes III et IV à des constructions fort simples ; mais 
il ne sera pas inutile d’appliquer à ces mêmes problèmes le 
calcul trigonométrique qui fournira d’ailleui’s de nouvelles 
propositions. 
Soient«, b, c, les trois angles plans qui composent l’angle G S- 222. 
solide O, et soit proposé de trouver l’inclinaison des plans 
où sont les angles a et ô, on décrira du centre O le trian 
gle sphérique ABC , dans lequel on connaîtra les trois côtés 
BC — «, AC —b, AB — c, et il faudra trouver l’angle C 
compris entre les côtés a et b. Or, par les formules con- 
cos c — cos a cos b 
nues on a cos C = ; ;—- . Celte formule appli- 
sin a sm b 
quée aux cinq polyèdres réguliers, va nous faire connaître 
l’inclinaison de deux faces adjacentes dans chacun de ces 
solides. 
Dans le tétraèdre, les trois angles plans qui composent fig.243. 
l’angle solide S, sont des angles de triangles équilatéraux; 
soit donc la demi - circonférence ou l’arc de 200° — n, on 
cos a — cos 2 a 
aura a —J —donc cos C = =z 
sin 2 a 
cos a ( 1—cos a) cos a 
— - — ; mais on sait que cos \ ir 
1—cos 2 a i-f-cos« 
~ ~ , donc cos C “ 
Dans Vhexaèdre ou cube, les trois angles plans qui for- %• 2 44- 
ment l'angle solide A, sont des angles droits ; ainsi on a 
a — b—c—±Ts,et cos a — o; donc cos C — o. Donc l’angle 
de deux faces adjacentes est un angle droit. 
Dans Voctaèdre , si l’on fait «=:DAS~y t. , ô — DAT %• 
«, c = TAS r=^,on aura cos C = COS ^~ C ° S l! 
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