CB : DI : : GE : DL ou R : sia b : : cos a : DL 
CB : DI : : BE : IL ou R : sia h : : sia a : IL : 
Mais on a 
IK + DL = DF = sia {a + b), et CK —IL: 
cos (« + &)• Donc 
a + Z>) 
cos ( a -f- b ) : 
cos a cos b 
Il serait facile de déduire de ces deux formules les 
valeurs de sia (a — b) et de cos [a — b) ; mais on 
peut les trouver directement par la même figure. En 
effet, si on prolonge le sinus DI jusqu’à ce qu’il ren 
contre la circonférence en M, on aura BM = BD=^, 
et Ml—1 1) =sia b. Par le point M menez MP perpen 
diculaire et MN parallèle à AG; puisque MI —DL, on 
aura MN = IL, et IN = DL. Mais on a IK — IN = 
MP—sin ( a—¿>), et CK -f- MN=GP — cos (a— 
donc 
, , 7 . sin a cos h — sin h cos a 
sia (a — b) — 
cos ( a ■ 
cos a cos h sin a sin b 
Ce sont les formules qu’il s’agissait de démontrer. 
On pourrait craindre que la démonstration précédente 
ne fut pas assez générale , parceque la figure qu’on a suivie 
suppose les arcs a et b, et meme a -f- b plus petits que 
ioo°. Mais d’abord la démonstration s’étend sans peine au 
cas où a et b étant plus petits que ioo°, leur somme a-\-h 
est > 100". Alors le point F tomberait sur le prolongement 
de AG, et le seul changement à faire dans la démonstration, 
serait de prendre cos (a-{-6)—— CF ; mais comme on aurait