TRIGONOMÉTRIE. 3:>7 
xxv. Développons encore les valeurs de sin 5 a et cos 5 a, 
et pour cela prenons les formules 
sin '3 a cos 2 a ~J- cos 3 a sin 2 a 
sin (3a + 2a )— — 
cos 3 a cos i a—sin 3 a sin 2 a 
cos ( 3 a -f- a a ) — 
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SI on y substitue les valeurs déjà trouvées art. xx et xxiv, 
on aura, après les réductions , 
. 20 sin* a 16 sin 5 a 
sin 5 a — 5 sin a — 1 
R 2 R 4 
20 cos 3 a 16 cos 5 a 
cos 5 a — 5 cos a 1 
R- R 4 
D’où l’on voit que le problème de la quintisection de l’angle 
serait du cinquième degré, et ainsi des autres divisions par 
les nombres premiers 7,11, 13, etc. 
xxvr. Soit proposé pour exemple de trouver la valeur 
de sin x° approchée jusqu’à quinze décimales, ce qui peut 
être utile pour la construction des tables de sinus. L’ex 
pression de sin 10’, trouvée n° xxii, étant réduite en déci 
males dans la supposition de R=zi, donne sin io°=z:o. 
15643 44660 4oa31 ; de là on tire, par la formule du n° xxi, 
sin 5°z=o.07845 90957 27845. 
Soit maintenant sin i° — x, il faudra, pour avoir x } 
résoudre l’équation 
i6x J — 20 .r 3 + 5 a?— o. 07845 90957 27845. 
Si, pour abréger, on fait le second membreznc, on aura 
à-peu-près 5 x—20,;c 3 nz:c, et a?rz:jC-j-4 ( j c ) 3 * Or 
o .oxSbq *8191 et 4 (^c) 3 =0.00001 5456; donc on a, pour 
première approximation, x — 0.01670 7276, valeur qui 
n’est en erreur que dans la huitième décimale. Pour en 
avoir une pins exacte, soit x — 0.01670 73 —on aura, 
en substituant dans l’équation proposée, et négligeant le 
quarré et les autres puissances de y, 
o. 078469009424927-1-4.98620 X7jrz:o.078459095727845; 
d’où l’on tire y rrz o. 00000 00 178 118207, et 
X ou sin \° — 0.01670 78173 118207..