64 GÉOMÉTRIE. 
, commensurables entre elles, et quelles soient, par 
exemple, comme les nombres 7 et 4 : si on divise AB 
en 7 parties égales, AE contiendra 4 de ces par 
ties; élevez à chaque point de division une perpen 
diculaire à la base, vous formerez ainsi sept rectan 
gles partiels, qui seront égaux entre eux, puisquils 
auront même base et même hauteur. Le rectangle 
ABCD contiendra sept rectangles partiels, tandis que 
AEFD en contiendra quatre; donc le rectangle ABCD 
est au rectangle AEFD comme 7 est à 4 1 ou comme 
AB est à AE. Le même raisonnement peut être appli 
qué à tout autre rapport que celui de 7345 donc, 
quel que soit ce rapport, pourvu quil soit commen- 
surable, on aura, 
ABCD ; AEFD . : AB : AE. 
%. 100. Supposons, en second lieu, que les bases AB, AE, 
soient incommensurables entre elles; je dis qu’on n’en 
aura pas moins, 
ABCD:AEFD:: AB;AE. 
Car si cette proportion n’est pas vraie, les trois pre 
miers termes demeurant les mêmes, le quatrième sera 
plus grand ou plus petit que AE. Supposons qu il soit 
plus grand et qu’on ait, 
ABCD:AEFD:: AB:AO. 
Divisez la ligne AB en parties égales plus petites que 
EO, il y aura au moins un point de division 1 entre E 
et O : par ce point élevez sur Al la perpendiculaireIK; 
les bases AB, AI, seront commensurables entre elles, 
et ainsi on aura , par ce qui vient d’être démontré, 
ABCD; A1KD :: AB: AL 
Mais on a, par hypothèse , 
ABCD; AEFD ;: AB; AO. 
Dans ces deux proportions les antécédents sont égaux ; 
donc les conséquents sont proportionnels, et il en 
résulte, 
A1KD : AEFD : : AI : AO.