jLIVRE III.
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la hase
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D : DB
, DEC,
hauteur,
ne paral-
alents *.
commun
comme
commun
între eux
cause du
ns, on en
CD + DB :
, et aussi
CD, on
EF, GH,
tionnelle-
: HD.
oites AB,
est menée
E : : OF :
OGH, on
a OE:OF
commun ,
OE : OF, ces deux proportions donnent AE : CF : ;
EG : FH. On démontrera de la meme maniéré que EG :
FH ;:GB:HD, et ainsi de suite; donc les lignes AB,
CD, sont coupées proportionnellement par les paral
lèles EF, GH, etc.
PROPOSITION XVI.
THÉORÈME.
Réciproquement si les côtés AB, AC , sont cou- % IIÛ -
pés proportionnellement par la ligne DE, en
sorte qu’on ait AD : DB : : AE : EC, je dis que la
ligne DE sera parallèle à la hase BC.
Car si DE n’est pas parallèle à BG, supposons que
DO en soit une; alors, suivant le théorème précé
dent, on aura AD:BD: : AO ;OC, Mais, par hypo
thèse, AD : DB: : AE ; EC; donc on aurait AO: OC::
AE:EG; proportion impossible, puisque d’une part
l’antécédent AE est plus grand que AO, et que de
l’autre le conséquent EG est plus petit que OC ; donc
la parallèle à BC menée par le point D ne peut diffé
rer de DE ; donc DE est cette parallèle.
Scholie. La même conclusion aurait lieu si on sup
posait la proportion AB : AD : : AG : AE. Car cette pro
portion donnerait AB—AD;AD;:AG—AE;AE, ou
BD: AD; :CE:AE.
PROPOSITION XYIL
THÉORÈME.
La ligne AD, qui divise en deux parties égales %,
Vangle BAC d’un triangle, divisera la hase BG
en deux segments BD , DC, proportionnels aux
côtés adjacents AB, AC; de sorte qu’on aura
BD: PC;: AB: AC.