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DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 161 
La formule du n° 4^ , qui est la plus simple et la plus remar 
quable des formules de comparaison, est comprise dans le symptôme 
general donné pour les deux premières formes, puisqu’en faisant 
7z = cot*0 et — = cot 2 A, on a entre les angles 0 et A, la relation 
c lang G tang A = i, d’où résulte F (b , 0) -f- F(Æ, A) =F‘ (h). 
La même formule servirait à comparer les deux fonctions 
n(—i-j-£ a sin*0), n (—i-j-£*sin a A) ; car en faisant n = —i-f-Z> 2 sin s 0., 
— i -f- ¿> 2 sin 2 A, il en résulte encore c tang Q tang A = i. 
Exemple âhme transformation particulière de fonctions 
elliptiques de la première et de la seconde espèce. 
(n6). Deux fonctions elliptiques de la première espèce peuvent 
être transformées l’une dans l’autre, si leurs modules appartiennent 
à une même suite ou échelle....^*, c", c, c°, c°°, etc. formée suivant la 
loi connue. Cette propriété s’étend aux fonctions de la seconde et de 
la troisième espèce , pourvu qu’elles soient jointes à une fonction 
de la première espèce, dont le coefficient puisse changer à volonté. 
Mais si les modules des deux fonctions comparées ne sont pas 
compris dans la suite dont il s’agit, il y a très-peu de cas où la 
réduction d’une fonction à l’autre soit possible ; nous ne connais 
sons qu’un seul exemple où la réduction indéfinie ait lieu entre 
deux fonctions dont les modules sont complémens l’un et l’autre , et 
c’est cet exemple que nous allons développer. 
Considérons la formule R = f-—--—- qui doit être intégrée depuis 
3 - 
z=o; je fais i—z 3 = Q^ , ce qui donnez 3 =—~u :3 )> 
et j’ai la transformée 
R 
-A 
du 
V / (4“ 3 + 0* 
Soit m = y , et mu = V— i , on aura pour seconde transformée 
dt 
oC-\~ 3 )’