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Full text

Title
Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures
Author
Legendre, Adrien Marie

21
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 161
La formule du n° 4^ , qui est la plus simple et la plus remar
quable des formules de comparaison, est comprise dans le symptôme
general donné pour les deux premières formes, puisqu’en faisant
7z = cot*0 et — = cot 2 A, on a entre les angles 0 et A, la relation
c lang G tang A = i, d’où résulte F (b , 0) -f- F(Æ, A) =F‘ (h).
La même formule servirait à comparer les deux fonctions
n(—i-j-£ a sin*0), n (—i-j-£*sin a A) ; car en faisant n = —i-f-Z> 2 sin s 0.,
— i -f- ¿> 2 sin 2 A, il en résulte encore c tang Q tang A = i.
Exemple âhme transformation particulière de fonctions
elliptiques de la première et de la seconde espèce.
(n6). Deux fonctions elliptiques de la première espèce peuvent
être transformées l’une dans l’autre, si leurs modules appartiennent
à une même suite ou échelle....^*, c", c, c°, c°°, etc. formée suivant la
loi connue. Cette propriété s’étend aux fonctions de la seconde et de
la troisième espèce , pourvu qu’elles soient jointes à une fonction
de la première espèce, dont le coefficient puisse changer à volonté.
Mais si les modules des deux fonctions comparées ne sont pas
compris dans la suite dont il s’agit, il y a très-peu de cas où la
réduction d’une fonction à l’autre soit possible ; nous ne connais
sons qu’un seul exemple où la réduction indéfinie ait lieu entre
deux fonctions dont les modules sont complémens l’un et l’autre , et
c’est cet exemple que nous allons développer.
Considérons la formule R = f-—--—- qui doit être intégrée depuis
3 -
z=o; je fais i—z 3 = Q^ , ce qui donnez 3 =—~u :3 )>
et j’ai la transformée
R
-A
du
V / (4“ 3 + 0*
Soit m = y , et mu = V— i , on aura pour seconde transformée
dt
oC-\~ 3 )’