transformée 
DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
R = - r . "F{b, a ). 
mj l/C 1 —O su! «) m ' 3 ' 
i63 
o, on 
li n’y a pas de constante à ajouter, parce qu’en faisant 2 
a successivementj- = oo,z=co, 50 = 0. 
Si on fait z= 1 pour avoir l’intégrale complète ou définie, on 
aurajr = 1 y x i '=m—1, cot \ co = —— • Mais l’angle G déter 
miné par Eéquation cot E G = —-, est tel qu’on a F(£, G) 
= |F^). 
En effet nous avons trouvé par les formules de la trisection 
( art. 2/j.) que pour le module ¿ = |j/(2—j/S), on satisfait à 
l’équation F(Æ, y)=j F 1 (¿), en prenant cos y = (rn—1) /; 
soit //2 — i = rfr , on aura cos y = nr \/(2 -f- 72 2 ), et sin y = 
^/(\ — 2wV—tzV). Mais l’équation /72 = 1 -f-n*r étant élevée au 
cube, donne i=7z 2 r-f-rcV -}-/z 2 /‘ 3 ; donc 1—2/¿V—/zV=;2 2 (r—2/‘ 2 -|-2/- 3 ), 
et par conséquent sin 5/ = /2(1—r) V 7 ’? tang ^ = ^7====. Soit cP 
l’angle qui donne F(&, cP)-f"F( b , =F* (&), ouF(&, cT)=fF 1 (^), 
2 COt'y 
2^/7’ 
1 — ;• 
on aura c tang ¿P tang > = 1 ; donc tang ff = 
et tang^ cP= \//'= . Cette valeur étant celle de cot 4 G, il 
s’ensuit qu’on a i-cP+iG = U 7î *> ou G = — cP 5 donc F ( G ) 
= 2F 1 (¿>) — | F'(Z') = fF 1 (¿). Donc enfin 
R’ = ~.|F’(£). 
Comparant les deux valeurs trouvées pour R', on en tire 
F 1 (c)= 72 2 F 1 (^)= P 
ce que nous avons déjà trouvé (n° 4 1 )• 
Et si l’on compare les deux valeurs de R , on aura, quel que soit 
cette formule générale de réduction entre deux fonctions de diffé 
rons modules 
F(C,<P) |F 1 (c)= t/3F(Æ, 5e)).