185 PREMIÈRE PARTIE. 
Les projections des lignes de courbure de l’autre espèce, qui seront 
des hyperboles, se détermineront semblablement en prenant pour 
demi-axes de chaque hyperbole, les coordonnées et', d’un même 
point de l’ellipse auxiliaire , lesquelles doivent satisfaire à l’équation 
C" = pC A’ 
Les projections des lignes de courbure de la première espèce 
seront donc les ellipses tracées d’après l’équation 
J' — % (V—x*) = (a* — x*) (i — 
en donnant à et toutes les valeurs depuis et = A jusqu’à et = a. 
Et les projections des lignes de courbure de la seconde espèce 
seront toutes les hyperboles décrites d’après l’équation 
en donnant à et toutes les valeurs depuis a' = o jusqu’à a'=A. 
Considérons plus particulièrement les ellipses qui sont les projec 
tions des lignes de courbure de la première espèce. 
Lorsqu’on fait et = A, on a £ = Ojj = o, de sorte que l’ellipse 
est infiniment étroite, et se réduit à son grand axe. A mesure que 
le demi-axe et augmente, Eautre demi-axe C augmente aussi; et enfin 
lorsqu’on fait a= a, l’ellipse de projection se confond avec la base 
de l’ellipsoïde, ce qui est le dernier terme des projections. 
(i3a). Cela posé, cherchons l’aire de l’ellipsoïde qui répond 
à l’élément de la base dxdy, compris entre deux ellipses de pro 
jection infiniment proches. L’une de ces ellipses ayant pour équa- 
tion [et*—x 2 ) , on pourra faire x—et sin 4 , ce qui donnera 
j C cos 4* Différentîant x en supposant et constante, on aura 
dx~ad\> cos 4; si on passe ensuite de cette ellipse à l’ellipse infi 
niment voisine , il faudra différentiel' l’équation 
en faisant varier et seul, ce qui donnera ydy = — ctdet ( i 
A*x‘\ 
i4 4 ) 3