DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. ai 7 
d’où î’on voit que l’intégrale cherchée ne dépend que des fonc 
tions elliptiques. 
En vertu des limites fixées, les deux dernières intégrales devront 
être prises depuis u = i jusqu’à u = oo. Mais comme chacune de 
ces intégrales deviendrait infinie dans la dernière limite, il faut, 
pour éviter cet inconvénient, faire 
•I/O 4 - 
Q =f{ du — 
2P 2 + 5) 
u a du 
))• 
\/(ui + 2V a -{- 3), 
Par ce moyen , les deux intégrales P et Q seront toujours des quan 
tités finies, et après avoir trouvé leurs valeurs complètes P 1 , Q 1 , on 
en déduira M ou = v (P 1 + Q 1 )* 
(i55). Pour avoir l’intégrale P, soit £ 2 = 2 y/5— 3, et u 2 —■ 
Q2 
V 7 ( w 4 — C 2 ) = p , ou if ■=-p -\ , on aura la transformée 
2p 
P ensu4te P tang 2 t et c 2 = on aura 
p C d< P tattg B ^(p 
V \ z'o J’J y ^ _ c . sin2(p) * 
cette intégrale se trouve par les formules de l’art. i38 et on a 
P= l/(K)-[2A tangf<p + F (<p) —aE(<p)]. 
Il faut maintenant prendre cette intégrale depuis (p == o qui répond 
à u = 00^ jusqu’à la valeur de <p qui répond à «= 1 ; on a dans 
, ou cos <p 
VG 
V)- 
cette dernière limite tang \ <p 
Or j’observe que l’angle q> ainsi déterminé , est celui qui pour le mo 
dule c= y/j;, donne F (p) = |F*; car nous avons trouvé (art. 24) 
qu’on satisfait à l’équation F (-\f,)= | F*, par les valeurs cos ^ = y/C^ 
sin 4^== VC 1 — £)• Si ensuite on suppose F (<p)-f-F (^) = F 1 , ou 
tang (p tang ^ = y/2 , on en déduira tang (p = y/(j~~V) 011 
cos <p = yj\y ce qui est valeur de (p dont il s’agit. Au reste 
en faisant a s =2i/3-f-3, on aura plus simplement cos (p 
9\A 
*+l * 
siu A ( < P) = K«— 0? tang-i<p = sin 4 = -A_. Mais 
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