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PREMIÈRE PARTIE. 
à l’arc d’hyperbole T, pour en faire l’une des trois espèces de 
fonctions elliptiques, et que même cette fonction doit être 
A 
considérée comme plus simple que l’arc d’ellipse fAciç. 
En effet, on prouvera ci-après que la fonction F peut s’exprimer 
par deux arcs d’ellipse ; mais l’inverse n’a pas lieu , et un arc 
d’ellipse ne peut pas s’exprimer par deux fonctions telles que F , 
ce qui indique déjà que la fonction E est d’une nature plus com- 
posée que la fonction F. Mais cette conséquence se manifeste plus 
clairement encore par l’examen des propriétés respectives de ces 
fonctions. 
La propriété la plus remarquable des fonctions F , est qu’on peut 
déterminer par des opérations purement algébriques , une fonction 
égale à la somme ou à la différence de deux autres fonctions ; d’où il 
suit qu’on peut déterminer algébriquement une fonction multiple , 
sous-multiple ou en général qui soit dans un rapport rationnel avec une 
fonction donnée ; propriété que les fonctions F partagent avec les 
arcs de cercle et les logarithmes ^ et qui a lieu quand même ces 
fonctions, considérées comme des intégrales ou des arcs de courbe , 
n’auraient pas l’origine commune <p = o, et commenceraient à des 
points quelconques. 
Les arcs d’ellipse et les arcs d’hyperbole sont de toutes les autres 
transcendantes, celles qui approchent le plus de jouir de la même 
propriété, mais elles n’en jouissent pas d’une manière absolue. 
Ainsi deux arcs étant donnés sur l’une de ces courbes , à compter 
du môme point où q> — o, on peut trouver algébriquement, non 
pas un arc égal à leur somme , mais un arc égal à cette somme, plus 
ou moins une quantité algébrique , ce qui prouve que les arcs T 
et E sont d’une nature plus composée que les fonctions F. On 
doit donc regarder ces dernières comme tenant le premier rang après 
les arcs de cercle et les logarithmes (*). 
( T ) Ces fonctions réunissent un si grand nombre de propriétés , que quand elles 
seront plus généralement connues, on jugera sans doute nécessaire de leur imposer 
vin nom particulier, et de désigner la fonction de c et <p égale à C~ , comme on