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et en général 
SECONDE PARTIE, 
1.2.3....n 
fx m ~'dx log" = 
(§')• 
(4i). A l’aide de celte formule on peut exprimer les quantités 
T', T", etc., par des séries régulières, composées des puissances 
réciproques des nombres pris à des intervalles égaux dans la suite 
des nombres naturels. 
Ainsi en développant d’abord la différentielle qu’il faut intégrer 
pour avoir T', on a 
s*j i 1 f x?~ l -f■xP*’ 1 - 1 -\-xP+ 2n - 1 -4- etc. 1 
T- fàoc log - |— x p-h-i — x p+ q +n-i — X f+ 1 + an -1 — etc ./ f 
et effectuant l’intégration entre les limites o, x = 1, il vient 
1 . 1 
0 + 2 'O 2 
etc. 
(p -h q T (p+? + ")* (p-hq + a**)* 
Désignons en général par (a, n) m , la somme de la suite 
1 . 1 
etc. 
l + 
a m ‘ ( a -f- n y 
+ 
+ 
etc.. 
(!>') 
(a-\~Q.ny n 1 (a-f-3rc)" 
laquelle deviendra (1, n) m , (2,«)"*, (3, w)”, etc., selon qu’on fera 
a-=z 1, 2, 5, etc.,« étant constant ; on aura suivant cette notation, 
T' = (p,ny — (p+</,n)‘ 
;T'= (p,ny-(p+</,n) s 
^ ^ f ^ 
2g T'= (/>,«)*- (/> + ?,«) 4 ( 
etc. 
(42). Il faut observer que n et m restant les mêmes, on n’aura 
besoin de considérer les valeurs de (a, n) m , que depuisa= 1 jusqu’à 
a — n; car il est visible , par exemple, que (« -f-i, n) m se réduit à 
Çi 9 ri) m —~i 9 et qu’en général on a 
(«4- n, «)“ = (a, n) m ~~ (F) 
Par suite de cette formule , on aurait de même 
(a + 2n, «)-== (a, n y — X — (a ^ n --p.