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Full text

Title
Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures
Author
Legendre, Adrien Marie

So8 TROISIÈME PARTIE.
ment dans son application an cas où les limites de l’intégrale sont
supposées imaginaires.
Enfin j’ai profité de la liberté que me donnait le titre de cet
ouvrage, pour traiter de diverses sortes d’intégrales définies qui
appartiennent à la théorie des transcendantes. De ce nombre sont
plusieurs formules que Laplace a données dans différens recueils,
et qui tiennent un rang distingué dans cette théorie ; les autres
sont, pour la plupart, extraites des ouvrages d’Euler, et parti
culièrement des Supplémens qui composent le tome IV de son
Calcul intégral.
Je me flatte que ces divers objets réunis sous un même point
de vue, pourront intéresser les Géomètres; ils ont été d’ailleurs
choisis de manière que chacun d’eux puisse offrir de nouvelles
formules ou de nouvelles démonstrations.
'Formule générale pour les quadratures.
(i). On est censé avoir résolu un problème lorsqu’il est réduit
aux quadratures, c’est-à-dire lorsqu’il ne dépend plus que d’une
ou de plusieurs intégrales de la forme fydx, où l’on connaît y en
fonction de x.
Si les intégrales dont il s’agit sont susceptibles d’être exprimées
par des suites convergentes , la solution est aussi complète qu’on
peut le desirer, eu égard à la nature de la question; mais le pins
souvent on a des expressions trop compliquées pour les intégrer par
des suites convergentes, et il ne reste d’autre parti à prendre que
de chercher leurs valeurs dans les cas particuliers seulement, c’est-
à-dire pour une partie donnée de la ligne des abscisses.
Soit donc proposé de trouver la valeur de l’intégrale Z= fjdx,
depuis x r=za jusqu’à xz=b , ou seulement depuis x = o jusqu’à
x = a ; car on peut supposer que l’origine des abscisses est prise
au point où commence Faire, de manière que Z et a? s’évanouissent
en même temps.
Pour obtenir plus facilement le degré d’approximation qu’on peut
desirer, nous supposerons,
i°. Que dans l’intervalle donné depuis x = o jusqu’à xz=a, la