ï6d troisième partie.
pourvu qu’on connaisse l’exposant ¡x qui sert à caractériser le point
singulier qui rend infini un ou plusieurs des coefficiens ^ ^,
-¡jrj- On voit en même temps que la correction sera beaucoup plus
petite lorsque fx sera de la forme i—- que lorsque /x sera de la
forme — 2 f- ■ ; ainsi le cas où r devient un maximum ou un mi~
nimum lorsque x=z <x y est celui qui exige la plus forte correction.
L’autre cas n’apporte à la formule qu’une correction très-légère et
souvent négligeable.
(6). Lorsqu’on aura reconnu que la portion de courbe qu’on veut
quarrer , a un point singulier déterminé par, l’équation
J — £ = AÇx— B Çx — etc.ÿ
on pourra , par une transformation fort simple, prévenir l’inconvé-
nient qui naît de la valeur infinie des coefficiens c -~, Il
1 dx dx 2 dx i
suffit pour cela de faire x = a-j- Çz —m étant le dénomina
teur impair de la fraction égale à ¡x ; alors y deviendra une fonc
tion connue de z, et si l’on prend f=zÇ / 'et J on aura Jjdx =
fm Çz—Cette nouvelle intégrale devra être prise depuis
z — o jusqu’à z = \/et -f- y/'Ça — a) ; et dans tout cet intervalle ,
la nouvelle courbe qu’il faut quarrer et qui a pour ordonnée la
fonction mÇz —? n’aura aucun point singulier ; de sorte que
l’application de la formule (2} ne sera sujette à aucune difficulté. 1
(7). La plupart des méthodes qu’on donne ordinairement pour
trouver par approximation l’aire d’une courbe, sont moins exactes
ou moins commodes dans la pratique que celle que nous venons
d’exposer. Je regarde surtout comme l’une des plus défectueuses,
celle qui suppose cjue l’ordonnée de la courbe est représentée dans
toute son étendue par la formule < /= a-\- hx -f- cx a -{-ex 3 -^-etc., ou
par une formule équivalente ; car de ce qu’une courbe passe par un
grand nombre de points d’une courbe donnée , il ne s’ensuit pas
que les deux courbes soient fort approchées l’une de l’autre ; il peut
arriver au contraire que les deux aires , malgré tous les points
communs, soient aussi différentes entre elles qu’on voudra.
