DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 41 
dans le temps t } on pourra trouver algébriquement un autre arc 
parcouru dans un temps multiple de it, ou en général commensu 
rable avec t. On peut aussi trouver un arc tel , que le temps par 
cet arc , soit égal à la somme ou à la différence des temps par 
deux ou plusieurs arcs donnés, et cela, soit que ces arcs aboutissent 
à la verticale, soit qu’ils n’y aboutissent pas. 
Si on veut diviser en deux parties égales le temps de la demi-oscil 
lation ^ il faudra , suivant les formules connues, faire sin 2 cp =s > Fig. 5. 
ce qui donnera sin £ 4 ==:c s* 1 * <P = \/(i— ¿). Donc si AB est l’arc 
de la demi-oscillation, et qu’après avoir divisé l’arc AB en deux 
également au point i , on prenne l’arc AO tel que la corde AO 
soit à la corde AI comme \/2 est à i, le temps de la demi-oscilla 
tion sera partagé en deux également au point O. 
Comparaison des fonctions elliptiques de la seconde espèce. 
(5i). Supposons que les amplitudes (p, 4,Z 4 soient telles qu’on ait 
F ( <p ) -j- F (40 —• F (/a) = o , j e dis qu’on aura en même temps 
E (<p) -f- E (4) — E (/a) = P , P étant une quantité algébrique. En 
effet, si l’on différentie cette équation, en regardant ¡x comme 
constante, on aura 
dP = dtp A (tp) -f- d4A (4)- 
Mettant au lieu de A(<p) et A (4), leurs valeurs tirées des équations 
(¿0 , il viendra 
ou 
dP 
dP 
dtp (• 
COS <p COS 4 COS [J. 
sin 4 sic i*- 
)+<h(— 
COS 4 COS tp COS U 
sm <p sm ¿m. 
)■ 
\ d (sin 2 <p -f- sin 2 4 -f- a cos (J. cos tp cos 4 ) 
sin [j. sin <p sm q. 
Mais de l’équation (d) , on déduit 
sin 2 <p -j- sin 2 4 -j-2C0S fx cos tp cos 4 = i +cos*/A-4-c 2 sin7A sin*<p sin*4 y 
donc 
pp \d (c 2 sin 2 fi sin 2 <p sin 2 4) 
sin y. sin <p sin 4 
= c 2 d ( sin ¡X sin <p sin 4 ) > 
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