DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
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Développement des fonctions F 1 et E 1 en séiiis, 
(45). On peut déduire des équations (<?') deux équations diffé 
rentielles du second ordre propres à déterminer séparément les 
fonctions F et E ; ces équations sont 
/ T ddF , i—3c 2 dF p , sin <p cos <p 
I 1 c ) rlr* • ~ * 
de 2 c * de 
, , s, ddF , i — c 2 dF , t-, 
(l _ c .)^_ + _. 3 _. +E 
A 3 
sin Ç) cos <p 
 
et lorsqu’on considère les fonctions complètes, ces équations de 
viennent 
ddF' 
0~ c *)-xî- + 
i— 3c 2 dF 1 
de 2 
, v ddF 1 , i—c 2 dF 1 , -p 
(I + — .-^ + E‘ = 0. 
c de 
dF' 
c ‘ de 
— F 1 
Celles - ci se 
donnerait 
simplifieront encore en faisant c = sin ô 
F 1 = o 
ddF 1 , . n dF 
COt 2tj. 
dh 2 
ddF 
db 2 
+ 
db 
i dE 1 
sin sâ * db 
—{— E 1 zzz o. 
ce qui 
On peut enfin regarder F* et E 1 comme des fonctions du module 
complémentaire b, ce qui donnera les équations différentielles 
d’où l’on voit que l’équation en F 1 est de la même forme, soit que 
l’on considère F 1 comme fonction de h ou comme fonction de c. 
Ces équations sont utiles pour faire connaître la loi du dévelop 
pement des fonctions F 1 , E* en séries. Il n’y a aucune difficulté à 
développer ces fonctions suivant les puissances de c ; car les expres 
sions F = fd(p (i — c 2 sin 2 <p y % E s= fdq> ( i — c 2 sin 2 cp ) 2 étant inté-