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Full text

Title
Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures
Author
Legendre, Adrien Marie

DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 67
aura pour déterminer les nouveaux coefficiens A', A", etc., l’équa
tion suivante, dont les termes suivent une loi très-simple :
0= 2 -j- dm b 1 -f- 10m H M -f- 18/77 lv Z» 8 -{-etc.
—4 m — Ç>m n b a — 12in"h it —16/?2 iy b 6 — 2om y b 8 —etc.
—a'fl/A-4 3 m*A^ a —6*/^A w ^—8*/77 it A 1v £ 6 —io*t77*A v £ 8 —etc.
-f-3WAA a -f-5W'A' , ^+7 s 77i w A^ 6 4-9 a m lv A , ^ 8 -f-etc.
Observant ensuite qu’on a sW = 1,4* /7 ^ ^ 5*777', 6*777"'= 5*/77", etc.,
011 trouve successivement
A' = i
A '=*+à
*-’= l +WT4 + Ù
A "= I +à + 5 ï 6 + ^
etc.
de sorte qu’on a en général A (n) = A Cn 0 -f- ^- ara _^ I y^ > D’après cette
loi, il est facile de voir ce que devient A'-" 5 lorsque n est très-
grand ) considérons pour cet effet la suite
2X a . SX* , SX 6 . SX 8 . .
^ = 7^+34 + 5^ + ^8 + etC> ’
laquelle peut être mise sous cette forme
y = 2X
/ , X 3 . X 5 , X 7 . \
[f ■+* T T etc V
(■**+T+3" f ‘T + etc V’
on aura en sommant ces suites, ,/= xIog^i^^^+Iog(i — x')—
(i-Hr) log ( i-J-x ) -f- ( 1 —oc) log ( 1 — x ). Soit x = 1 , on aura
y z= 2 log 2 ; donc la limite des quantités A4 A", A'", etc. est
2 log 2 ou i,586, etc. Gela posé, la valeur complète de F‘ se
développe ainsi :