DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 67 
aura pour déterminer les nouveaux coefficiens A', A", etc., l’équa 
tion suivante, dont les termes suivent une loi très-simple : 
0= 2 -j- dm b 1 -f- 10m H M -f- 18/77 lv Z» 8 -{-etc. 
—4 m — Ç>m n b a — 12in"h it —16/?2 iy b 6 — 2om y b 8 —etc. 
—a'fl/A-4 3 m*A^ a —6*/^A w ^—8*/77 it A 1v £ 6 —io*t77*A v £ 8 —etc. 
-f-3WAA a -f-5W'A' , ^+7 s 77i w A^ 6 4-9 a m lv A , ^ 8 -f-etc. 
Observant ensuite qu’on a sW = 1,4* /7 ^ ^ 5*777', 6*777"'= 5*/77", etc., 
011 trouve successivement 
A' = i 
A '=*+à 
*-’= l +WT4 + Ù 
A "= I +à + 5 ï 6 + ^ 
etc. 
de sorte qu’on a en général A (n) = A Cn 0 -f- ^- ara _^ I y^ > D’après cette 
loi, il est facile de voir ce que devient A'-" 5 lorsque n est très- 
grand ) considérons pour cet effet la suite 
2X a . SX* , SX 6 . SX 8 . . 
^ = 7^+34 + 5^ + ^8 + etC> ’ 
laquelle peut être mise sous cette forme 
y = 2X 
/ , X 3 . X 5 , X 7 . \ 
[f ■+* T T etc V 
(■**+T+3" f ‘T + etc V’ 
on aura en sommant ces suites, ,/= xIog^i^^^+Iog(i — x')— 
(i-Hr) log ( i-J-x ) -f- ( 1 —oc) log ( 1 — x ). Soit x = 1 , on aura 
y z= 2 log 2 ; donc la limite des quantités A4 A", A'", etc. est 
2 log 2 ou i,586, etc. Gela posé, la valeur complète de F‘ se 
développe ainsi :