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Full text

Title
Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures
Author
Legendre, Adrien Marie

DES FONCTIONS ELLIPTIQUES J 71
toutes les fois que le paramètre sera négatif, mais non compris
en t re j et — c a ; de sorte que n devra être représenté par l’une
ou l’autre des formules n = — • 2 A , n = c 2 sin 2 9.
cos 2 9.
Soit donc «=— c* sin 2 8, et &=—■£,on aura£ = ^(i—-c*sm“0),
et l’intégrale/A^_ devient f ou log (~T^) ’> donc
alors l’équation (/' ) devra être remplacée par la suivante :
n (-)+n (£) = F + ^ *og
Mettant dans cette équation les valeurs de n et de £, et observant
que )/(ï — £ 2 sin 2 9) peut être désigné par A ( 9 ) , tandis que
y/ç ï — c 2 sin 2 (p ) l’est par A ((p), on aura cette formule générale pour
le cas de cl négatif ;
n(-rtln<)+n(-^)=F+^ log(
T. , tangfl O) tan °' 6 4- A (6) tang

A (?) tang 6 — A (6) tang

)•
Il est à remarquer que le second membre de cette équation devient
infini lorsque cp — 9 : en effet, comme on a
n
/ i_\ r dp
V sin 2 6/ / / sm a p\ »
\ sin 2 6/
on voit que le dénominateur de la différentielle est zéro lorsque
tp = 9 , ce qui rend, pour ce cas, l’intégrale infinie.
Lorsqu’ensuite on suppose (p > 9 , le dénominateur devient né
gatif, et la valeur de II ^redevient finie par la destruction
mutuelle des parties infinies et de signes contraires. Mais alors la
formule a besoin d’être rectifiée pour ne pas offrir le logarithme
d’une quantité négative, et il faudra l’écrire ainsi :
II(—c 2 sin 2 9)+n(— =F
tang ^lo" A AQp) tanga #
aA (0) b A (6 ) tang

elle aura lieu depuis (p = 9 jusqu’à

Lorsque