DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 7 3 
Ti 'oisieine cas. Si le paramètre n est négatif et plus petit que c*, on 
pourra faire n == — c % sin 2 0, et on aura [/{et) = A ( 6 ). [/ —i, 
On verra ci-après que les deux premiers cas pourraient être 
censés n’en faire qu’un, attendu qu’une fonction qui appartient à 
l’un de ces cas, peut être transformée en une fonction qui appar 
tienne à l’autre cas. Il n’en est pas de même du troisième cas qui 
diffère essentiellement des deux autres ; car les fonctions qui se 
rapportent aux deux premiers cas , entraînent toujours dans leur 
comparaison des arcs de cercle ; tandis que les fonctions qui se rap 
portent au troisième, n’admettent dans leur comparaison que des 
logarithmes. 
Il semblerait naturel d’ajouter à ces trois cas celui où l’on sup 
poserait le paramètre n imaginaire ; mais nous prouverons ci-après 
que ce quatrième cas est inutile à considérer, et qu’on peut tou 
jours y suppléer par des transformations convenables. 
(5i). Soit maintenant p s= -, et k un coefficient indéter 
miné , on aura par la différentiation , 
dp 
1 2 sin 2 <P -f- C 2 sin* <P 
d<p 
i-f- hp 2 i -f- ( k — c 2 ) sin 2 <p — /î sin 4 (p ’ A 
si on fait ensuite le dénominateur 
i -f-(h —c 2 ) sin 2 ip — k sin 4 <p = ( i —f— /2 sin 2 <p) (i — m sin 2 <p ) 
il en résultera k-mn^ (i -f- n) ( i — m) = ¿ 2 , et l’équation diffé 
rentielle prendra la forme 
dp dtp |~ I —{—7Î X 1 771 1 c 2 —j , 
x-j-Zcp 2 A L n " i-p/isin 2 ^ ra ' i—m sin 2 ip mn* 
d’où l’on tire en intégrant, 
1 "*(—77 
n W — C 1 m / 
n): 
c 2 n , 1 . l/mn sia scostp 
— F-j— 7 —arc tang- 
777/7 [/mn & A 
■■■(/)■ 
Par cette formule les deux fonctions IT (n) , O (—m), peuvent être 
réduites l’une à l’autre, pourvu qu’entre les paramètres /¿et — /«, 
on ait la relation 
( ! -f-») =