7 6 PREMIÈRE PARTIE. 
Or on a trouvé (art. 3i) ^A((p) + c/4A(^)=c 4 ^(sin |Ctsin<psin4); 
lepremiermembre seréduitàA—[A a (<p)—A 2 (4)]=^^( s i n2 4—sin 2 <p)j 
donc en faisant sin a <p -j- sin a 4 = p , sin p sin 4 = <7 3 on a..... 
dtp 
MS 
( sin a 4 sin 2 <p ) = sin p. dq ; donc enfin 
Q=/r 
71 sin p.dq 
-j- np +7dq°-° 
Mais de l’équation cos (p cos 4— sin p sin 4A(aî*)=cos p, on déduit 
1 — p -f- q 2 = [cos p-\-qA (/¿)] a , e * P ar conséquent 
p ■=. sin 2 ^ — zq cos p.A (/¿) -f- c 2 q 2 s\n 2 p ; 
mettant cette valeur de p dans la formule précédente 3 ona 
77 sin p.dq 
Q J 1 -j- 11 s\n 2 p 
znq cosq* [a*7ic 2 sin 2 ^) 
Effectuant donc l’intégration, et faisant comme ci-dessus crz=z 
(i+«)(i +f) , on aura Q ou 
nW+nC-^-nC^r^arc 
‘ang ( 
7Z t/si sin p. SID (p SÎn A 
1 -j-n Il COS p COS Cp cos 
C’est la formule générale qui, pour les fonctions de troisième espèce, 
correspond à la formule F (<p) -f- F (4) — F (u)= o pour les fonc 
tions de la première espèce, et à la formule E(<p)-f-E(4) — E(yu-) 
= c 2 sin p sin <p sin 4 pour les fonctions de la seconde espèce. 
Ainsi la différence qui est zéro dans les fonctions de première 
espèce, et algébrique dans celles de la seconde espèce, est exprimée 
par un arc de cercle ou par un logarithme dans les fonctions de 
troisième espèce. Je dis arc de cercle ou logarithme, car on voit que 
le second membre de l’équation (h') sera un are de cercle ou un 
logarithme, selon que et sera positif ou négatif, c’est-à-dire, selon 
que la fonction II se rapportera aux deux premiers cas ou au troi 
sième de l’article 5o. 
(54). De l’équation (li ) et de toutes celles qu’on peut former sem 
blablement entre trois fonctions H, nous conclurons que si i, k y 
ly etc. sont des entiers positifs , on pourra toujours faire ensorte