DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
pour abréger. 
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sin ô cos //A (/4 ) — cos ô sin //A (ô) 
Sin fX 
sin 6 cos «A ( w) + cos 6 sin ¿'A C £ ) . » 
ft s =smu. 
i — c sm o sin 2 /* r 7 
la formule (A') se changera en celle-ci: 
rr A* N I n/IN r-r / \ tang ô 1 /1 -f- c 2 sin ô sin /¿'sin <2 sin 4-N 
n »)+n<4) - n w=^ io g (-.■■+-> sin9 . in >. hi ; s 4). 
et l’on peut remarquer que les angles auxiliaires jx', jx" sont ceux 
qui donneraient 
F (0)-F(/t) = F (pi), F(9) + F(»:=F^')- 
Au reste, comme on peut immédiatement convertir en logarithmes 
les arcs dont les tangentes sont de la forme t U— i, on pourra se 
borner à n’employer que l’équation (Ji) dans toutes les comparaisons 
qu’on aura à faire des fonctions H, selon les diverses valeurs de n; 
mais pour faciliter les applications, nous croyons devoir rapporter 
ici les formules qui ont lieu dans quelques-uns des cas les plus 
simples, en y joignant celles qui concernent les fonctions de la pre 
mière et de la deuxième espèce. 
(5?)- Soit, i°. ¡x = ~ tt , on aura successivement pour les trois 
espèces de fonctions elliptiques ; 
F(<p) + F(4)— F l = o 
E(<p) -{- E (4) — 1 E 1 = e*sin <p sin 4 
n(î>) + n (4) - H- = X. arc tang ^"7^ 
La relation entre <p et 4 est donnée par l’équation b tang <p tang 4= x* 
d’où Fon tire sin 4 = et s * n ^ ^ ¿çjy Q uant a valeur de a , 
elle s’exprime suivant les différentes formes de n , comme on l’a vu 
(art. 5o). 
Si en particulier on a (p = 4 y ce qui donne tang (p 
sin <p = } les formules précédentes deviennent