DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
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Formation d’une suite infinie de fonctions elliptiques de 
la première espèce , liées entre elles par des rapports 
constans. 
(58). Jusqu’ici nous n’avons comparé entre elles les fonctions 
elliptiques de la première espèce, qu’autant qu’elles avaient le même 
module, ou qu’elles pouvaient être considérées comme représentant 
différons arcs d’une même courbe ; ces comparaisons ont ensuite été 
étendues, d’après le même principe, aux fonctions de la seconde 
et de la troisième espèce ; et les théorèmes contenus dans les for 
mules (/') et (g') supposent encore que le module est le même dans 
les deux fonctions comparées. 
Nous allons faire voir qu’on peut, par une loi très-simple , former 
une infinité de fonctions elliptiques de première espèce, qui diffèrent 
les unes des autres tant par le module que par l’amplitude, mais 
qui ont la propriété fort remarquable d’être entre elles dans des 
rapports constans. 
détermine <p' d’après l’équation sin (2<p'—) := c sin , on aura 
généralement 
F («*',*') = ~ F (*.*)• 
En effet l’équation supposée donne d’abord cos ( o.p'—■—. /\. a f ns j 
on aura successivement : 
cos 2<p' = A cos <p —< c sin 2 <p 
2 cos® <p / = 1 — c sin 2 ip -f- A cos <p 
2 sin® <p' = 1 -f- c sin a (p •— A cos Q 
2 sin <p f cos <p f ï= sin <p (c cos p -j- A ) 
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