i6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL,
g IL Recherches ultérieures sur les propriétés des
fonctions F.
(20). Considérons la fonction <p{x) exprimée par la suite infinie
<P {x) =
X
+ r • + à
X
1
dans laquelle nous supposerons Si l’on développe cette
quantité suivant les puissances de x y et qu’on désigne, comme
ci-dessus, par S„ la somme des puissances réciproques, de degré n,
des nombres naturels, on aura
ç (x) =3 S 2 a? — S 3 x 3 + S 4 x 3 — S~ 9 x 4 -f- etc.
Mais par l’équation (¿y) du n 8 77, deuxième partie, on a
log F (i + x) = — Cx -f-| S 2 x 2 — | S 3 2: 3 -f- \ S 4 ^ 4 — etc.'
Différenciant celle- ci et comparant le résultat à la valeur de <p(x),
on en lire
= C + , (.0)
d’où Ton voit que la suite désignée par <p(x) peut être sommée
immédiatement, au moyen du coefficient différentiel de la fonc
tion logF(i -}-x), puisque d’ailleurs G est une constante dont la
valeur a été donnée n° 75.
Observons que la fonction ç(x) peut être mise sous la forme
~ + + (g ~ 3T^) + G - 4=f^) + elc ' ;
alors on voit qu’elle est la différence de deux suites qui ont l’une
et l’autre une somme infinie, mais qui étant ainsi retranchées
terme à terme, se réduisent à une quantité finie. Cette quan
tité est d’ailleurs la même qui a été désignée par C'—N dans
l’art. 75, et elle représente par conséquent aussi la somme de la
suite