CINQUIÈME PARTIE. § Y. 21S 
2 h . Si n est impair, la partie de l’intégrale Z n comprise entre 
les mêmes limites, sera égale à l’intégrale —P rise 
depuis z = o jusqu’à z ~ œ. 
JL.es intégrales en z sont infinies dans les deux cas, puisque, dans le 
second cas, on suppose ra = 3ou> 5 ; donc l’intégrale J' 
prise depuis x = o jusqu’à «r= tt , est infinie, quel que soit l’entier 
n > i. Il en est de même de l’intégrale f- r — xc ^ x J} n x qu’on ramène 
^ ° J ( COS X -f- cos 6y 1 *■ » 
à la précédente, en mettant tt— 0 au lieu de 9. 
8o. II ne sera pas inutile de joindre ici la solution d'une difficulté 
que présentent les équations (28). 
Puisqu’on a l’équation f—— =—7rlog(2-{-2a), dans laquelle 
COS JL ' Cl 
a = cos 9, il semble qu’on en peut déduire , par des différentiations 
successives prises par rapport à a, les formules 
/ ’ xdx sin x tt Ç xdx sin x \ tt 
(cos x — a) 2 i a* J (cos x — crf (1 + n) 2 J 6 C ’ 
Cependant ces équations sont toutes fautives , puisque nous avons 
démontré que les premiers membres sont des quantités infinies ; 
d’ailleurs l’absurdité est palpable pour la première équation qui 
donnerait une valeur négative de l’intégrale f-r^, tandis 
(COS OC —-COS v J 
que tous ses élémens, depuis x = o jusqu’à x = tt , sont positifs. 
11 s’agit donc d’expliquer comment les conclusions tirées d’une 
— tt log (2 + 2 cos 9) , 
en lui appliquant les règles les plus simples de la différentiation, 
peuvent être erronées. 
Examinons pour cet effet ce qui se passe dans le procédé ordi 
naire de la différentiation. Soient a —- co , co les cosinus de 
deux arcs peu différons de l’arc 9 , on aura les deux équations 
rigoureuses 
équation exacte telle que /- 
■J c 
xdx fin x 
COS 6 
A 
A 
xdx sin x 
cos x — a + &) 
xdx sin x 
cos x — a — a 
- = ~ 7F log (2 + 2«— 2Co), 
•—- TT log ( 2 •+■ 2rt 20ù ) j