52 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
de sorte que la formule générale est démontrée a priori pour toute 
valeur rationnelle de a. 
(58). Pour revenir à la fonction , que nous pouvons re 
présenter par TJ (a), on voit que les équations (G), (D), (E), etc.,, 
ne font connaître aucune propriété particulière de celte fonction, 
et qu’elles conduisent seulement à des formules relatives aux in 
tégrales définies. 11 ne reste par conséquent à considérer d’autre 
propriété de cette fonction, que celle qui est contenue dans 
l’équation (16), et qui consiste en ce que, toutes les fois que a 
sera rationnel, la fonction TJ (a) pourra toujours s’exprimer par 
la constante —C jointe à une quantité qu’on peut toujours évaluer 
par arcs de cercle et par logarithmes. 
Nous avons traité fort au long des réductions qui peuvent avoir 
lieu entre les fonctions logiez ou T{a), lorsqu’on donne à la 
racine ci les valeurs successives -, -, - l -. Un semblable 
n ? Il 7 n 11 
problème n’a point lieu relativement aux fonctions TJ (a), puis 
qu’elles sont toutes déterminables, ainsi qu’on vient de le dire. 
Passons donc aux coefïiciens différentiels du second ordre ^jj~ 9 
que nous désignerons semblablement par TJ'(a). 
(5g). L’équation (i6) étant différenciée par rapport à p 3 donne, 
en mettant a au lieu de p 3 
dd l Ta 
da 2 
Développant la différentielle du second membre en série, et in 
tégrant les différens termes d’après la formule de Part. 4° , deuxième 
partie, on aura 
ddIra i ( 1 f 1 , 4 
~dJJT U {a-h O 2 + (a + 2) ¿ + elC * 
Cette formule et celles qu’on pourrait en déduire par la difieren- 
/ 
‘x a 1 dxl- 
x 
—X