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SUPPLÉMENT. ,5 
En intégrant d’abord par rapport à p, puis par rapport à q , oa 
trouve 
Y = Code* , /(i n ‘ C -™y) ; 
sm f — sin^si J y \sm »—sm 2 ct/* 
cette intégrale étant prise à l’ordinaire depuis œz=u jusqu’à co = £„ 
(24). Si on fait les intégrations dans l’ordre inverse, et que 
pour intégrer par rapport à q , on applique la formule 
/ * dq cos % q \tt / B \ ^ 
A 2 co s°q -|- B 2 sin 2 ^ A 2 — B 2 \ A J * 
qu’ensuite on fasse cosp = x, on aura 
’ r dx dx 
V 
sm 2 £— sin 2 
-./Cr 
// cos a £ + x 2 sin*C\ *~! 
^ \ COS a ct -f- X 2 sinV/ 
Cette intégrale doit être prise depuis ac=o jusqu’à æ = 1 ; mais 
il faut des précautions particulières pour éviter les infinis que 
l’on rencontrerait en intégrant séparément les deux parties de là 
quantité sous le signe. Voici l’analyse qu’il convient de suivre pour 
cet objet, analyse qui est d’ailleurs indiquée par la théorie des 
fonctions elliptiques. 
Supposant toujours £>ct, soit < r = colé' tang (p, c a =i—~~i7 y 
tan ^ 
ou c 
sm y 
-7—TT , on aura 
sm fc 7 
/ cos 2 « -f- x 2 sin 2 £ \ 
cos 2 £ 
1 — XX y ' 
^ cot 2 a -f- x 2 sin 2 ct ) 
cos «4 sia Q 
h 
dtp 
r.-ssy 
\ sm G J 
« • cos^C X 1 \ é 
L’intégrale de cette quantité est ^. Flf Mais cette 
0 1 cos a smG \ sm 2 4 / 
fonction ayant son paramètre négatif et plus grand que Eu ni té , 
il importe de la changer en une autre dont le paramètre soit plus 
petit que c*; c’est ce qui se fera par la formule du n* 49? l a ~ 
quelle donne, en faisant r = colCcosy. 
H ( — F — H (— sin a y) + —Iog^~. 
\ sin 2 b/ v ' ' 2 COS y & 1 r 
cos^ 
Multipliant par , et observant qu’on a cos £ = cos a cos y,