DEUXIÈME SUPPLÉMENT. 91
F(Æ, <p), quand on ajoute à cette fonction, ou quand on en retranche la
quantité imaginaire imliK/, qui est le produit de i ou j/—1 par un
multiple pair quelconque de la fonction complète K/ ou F 1 (A').
114- D’un autre côté, quelle que soit l’amplitude <p de la fonction
£ = F(Æ, <p), la fonction Ç + 2K ou *F(Æ, <p) + F(Æ, tt) pourra être re
présentée par la fonction F(Æ, (p-\-7r), dont l’amplitude est 1p-j-Tf, et
puisque sin (<p -f- 7f) = — sin <p, il s’ensuit qu’on a en général
sin^ (£ -f- 2 R) = — sin^ (0) ;
donc, en mettant £ -f- 2R à la place de £ , on aura aussi
sin (J -\- 4E) = sin A{£),
De là résultent évidemment les deux formules générales
f sin -^ [? + (4 m + 2) R] = — sin A (£),
^ 1 ÛlïA ( £ -f- 4/7lK ) = sin ^ (J) ,
m étant un nombre entier quelconque , positif ou négatif.
Mettons maintenant dans ces deux formules £ -f- zm'iïk! à la place
de et nous aurons, en vertu de l’équation (2), ces deux nouvelles
formules
f .. f sin A [g -f- (4m + 2) K -h 2m'iK'] = — sin A (J),
v ( sin A (£ -f- 4mK -j- 2m'iR') = sm (0,
qui ont lieu quels que soient les nombres entiers m et ni', positifs ou né
gatifs, et qui contiennent ainsi une propriété très générale des fonctions
elliptiques de la première espèce.
n5. 11 est facile de voir quel sera l’usage de ces formules, pour divi
ser une fonction donnée £ ou F(Æ, <p) en n parties égales. Soit, pour cet
effet, x = sin A ^ puisqu’au lieu de £ on peut mettre £-f-4mK-f-2m'iK',
sans que la quantité donnée sin^ (£) éprouve aucun changement, il s’en
suit que l’équation qui détermine la racine x déterminera également toutes
les racines comprises dans l’expression générale
* = sm
et quoiqu’on puisse donner à m et à m’ telles valeurs qu’on voudra, en
nombres entiers positifs ou négatifs, il n’en résultera cependant qu’un
nombre déterminé de racines différentes entre elles. En effet, quels que
soient m et m', on peut toujours supposer 772 = an -f- pu, m' = ct'n -f- p!,
et et et' étant des entiers pris de manière que ft et ¡A soient moindres que n,
