9 8 FONCTIONS ELLIPTIQUES,
ment de degré en degré, ce qui se ferait très facilement, au moyen de
la table des fonctions complètes, que nous avons donnée sous le n° l ,
dans le tome IL
La fonction q se rapportant au module k y si Гоп appelle r la fonction
semblable qui se rapporte au module complémentaire k!', on aura
logq — —et log r =—par conséquent
(9) log <7 X logr= тг\
Ce produit serait т*тг л , m étant pris pour о,4342 9 *** ? si les deux lo
garithmes devenaient des logarithmes vulgaires.
Ainsi, Гоп voit que log<7 et log г se déduisent facilement l’un de l’autre,
et puisque тг est le logarithme hyperbolique de a3,i4 à peu près, il y
aura toujours un des deux nombres q et r qui sera plus petit que ^3.
12З. Si Гоп considère deux termes consécutifs к et h de l’échelle des
modules dont l’indice est тг, la quantité q qui se rapporte au module к de
viendra q n pour le module suivant et, par la même raison, elle serait
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q n pour le module Æ, qui précède k.
En effet, puisqu’on a, par la propriété générale de l’échelle des mo-
K. H
dules, ^- f z=zn—, y la quantité q of qui se rapporte au module h y aura
_Æ /
pour valeur e H ; on a donc <7, = <7"; par la meme raison, la quan-
tité «7,, qui se rapporte au module k t , ayant pour valeur e K * , on aura
q l = q n .
Connaissant donc, en fonction du module k et des quantités dépen
dantes de k, telles que k\ K, K', la somme d’une série quelconque, dont
les termes procèdent suivant les puissances de <7, comme sont les pro
duits d’une infinité de facteurs, désignés ci-dessus par a, a/, £, £', 011
connaîtra, par une fonction semblable du module h, la somme de la même
série, dans laquelle on mettrait q n au lieu de <7; et par une fonction
semblable du module k iy la somme de la même série, dans laquelle on
I
mettrait q n au lieu de q.
On peut multiplier ainsi, d’une manière indéfinie, les formules telles
que celles qui expriment les sommes des suites a, a', £, £', et une in
finité d’autres.
Lorsqu’on fait l’application de l’ancienne échelle, dont l’indice est 2,
