116 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
§ VI. Diverses propriétés des fonctions 0 (p, x) et \(q, x). 
i43. Ces fonctions, qu’on peut considérer en elles-mêmes et sans aucun 
rapport aux fonctions elliptiques, ont été considérées jusqu’ici comme se 
rattachant, par leurs deux élémens q et jc, à la fonction de première 
espèce F(A, (p). La constante q est une fonction du module A, déterminée 
K' 
5T-K' 
par la formule q—e K , ou log<7 = — K et K' étant les fonctions 
complètes relatives aux modules complémentaires k et k' \ la variable x 
est la même chose que l’arc circulaire désigné par dans l’art. 69, tom. T ; 
car, suivant cet article, la fonction F (k, <p) est exprimée par la formule 
F (k, <p) — T“ • $ = et d’autre part, nous avons supposé, dans les 
calculs précédens, F(A, 
Pour développer les propriétés principales de ces deux fonctions, nous 
allons d’abord les considérer comme représentant les deux séries suivantes : 
Ox — 1 — iq cos ix -f- 2q** cos2<7 9 cos6.r -J- 2^ ,6 cos8j: — etc., 
L 9 fl 5 
Ax = 2q x Sin x — iq x sin 3x 2q x sin 5x — etc. , 
où l’on voit que les exposans de q sont, d’une part, les quarrés des nombres 
naturels, et d’autre part, les quarrés des nombres impairs divisés par 2. 
L’inspection de ces suites suffit pour établir les propriétés suivantes ; 
Qx = 0( — x), 
0(tt — x) = 0x , 
0(?r -f- x) = 0r, 
0(ï TT-hx)'— 0(^7T X), 
( 2 7) 
Ax = — A(— x) , 
A(?r —x) = Ax , 
A[tt-\~x) •= — Ax , 
A(ÍTT~\~X) = A(j7T X) , 
et nous rappellerons ici les valeurs que prennent ces fonctions, dans les 
trois cas x=o, x = ~7T, xz=\tt : 
j 0o =v/(^> 
Ao = o, 
*j=v / (?>v( L ï i v‘')- 
Ces expressions se rapportent à la quantité q ou au module kj pour avoir