136 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
Comme le but de ces transformations est de déterminer la valeur appro 
chée de la fonction E(A, <p), ou de tonte autre fonction contenue dans 
l’équation primitive, il faut supposer que la nature de la question fournira 
dans chaque cas les relations nécessaires pour que la fonction proposée 
puisse se déduire facilement de l’une quelconque de ses transformées suc 
cessives ; c’est ce que nous allons faire voir dans le cas de la fonction E<p. 
i65. Appelons G (A, q>) la fonction complexe E (A, <p) — gF (J r c, <p), où 
E't; 
l’on a g = lorsque A et <p se changeront en k° et <p°, cette fonction de 
viendra G (k°, <p°) = E (k°, <p°) — 6° F (A°, <p°), e° étant mis pour 
Nous suivons ici les dénominations usitées dans l’ancienne échelle pour dé 
signer les modules décroissans A, k e , A* 0 , A 000 , etc., et les amplitudes crois 
santes <p, Ç>°, <p 00 , <p o0 °, etc. On a vu que x est égal à la limite de la suite 
— , V, -t-s-, etc.; de même x° serait la limite de la suite —, , etc., 
2 7 4 ’ ° 7 a 7 4 
ce qui prouve qu’on a x° = ix. 
Soit maintenant & (</, x) = —, ou 
0' (y, a:) = 4<7 sin 2x — 8y 4 sin \x -f- 12<7 9 sin 6a: — etc., 
l’équation (44) sera ainsi représentée 
G (A, <p) = 
5 («7, *) , 
2 K. © (a. or') 7 
et d’après l’observation contenue dans l’article précédent, on en déduira 
cette série de transformées 
G (k° 0 O> ) — —5 fSf* 
jCp J 2K° ; © 2af) 7 
G (A 00 , <p 00 ) 
«• Oh 4*) 
2K 00 ’ © 4jc) 7 
etc. 
166. Pour avoir la relation entre G (A, <p) et G (A 0 , (p°), il faut recourir 
aux formules connues 
(1 +A") E (A, <p) = E (A 0 , <p°) — i (1 — A 0# ) F (A*, <p°) + A # sin <p", 
(1 4- A 0 ) E'A = 2E*A° — ( 1 — A 0 *) F'A 0 , 
F (A,<p) = K I + A°)F(A°, <p°), 
F , A = (1 4- A°) F'A°; 
d’où l’on tire ces deux équations 
(1 +i°)6 = î ~- F .e° — (i — A”), 
( 1 4~ A°) G (A, <p) == G (A°, <p°) 4- A° sm 0*.