i54 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
Considérons maintenant la fonction Z = T<p"—Ttp'—J'-ÿ,E<p''—J**^>E<p'; 
si l’on regarde a comme constant, on aura i/F(p' = dF<p , ou ^, = ^, 
et semblablement — = ^ ; donc, Z = (E<p f/ — E<p'). Mais, par les 
formules précédentes , on a 
E(p" — E<p' = 2Ea — Æ a sin a sin (p (sin <p* -+• sin <p'), 
2sin <p cos«Aa 
sin <p" -f- sin <p' = 
donc 
-ft ( 2E * 
i — k 2 sin 2 « sin 2 <p J 
aÆ # sin a cosaAa.- 
Sin 2 (p 
L_ N 
« sin* <p/ * 
sin 2 «esin a ç)A(p ? 
■à 2 sin 2 a sin* <p, 
ou en réduisant, 
Z = (aEa -f- acot aAa) F<p — acol aAa^ g . 
donc on a la formule 
T<p r/ — T<p' = aEaF<p — 2CotaAa[n(—Æ a sin a a, k, <p)— F(Æ, <p)], 
à laquelle nous n’ajoutons pas de constante, parce que le second membre 
s’évanouit lorsque <p=o; quant au premier membre, il devient Ta—T(—et). 
Or, il est aisé de voir que l’intégrale T<p , qu on suppose prise 
à compter de <p = o, reste le même quand on change le signe de <p, 
et qu’ainsi T (p est une fonction paire de <p. Donc, Ta = T(—a), et 
ainsi le premier membre se réduit encore à zéro, lorsqu’on a <p = o. 
187. Nous parvenons ainsi directement à l’équation 
.«n i cotaAct [n(—/c a sin*a., k, <p)—F(Æ, (p)] 
1 V |=E a F{k, <p) —(£, <p")-KT(*, (p'), 
qu’on aurait également trouvée, à l’aide des équations déjà démontrées, 
cotaAa[IT(—¿‘sin 8 «*, k, <p)—F(Æ, <p)] 
*) 
log team »)- P(*, 4>) + i log . ^ 
En effet, puisqu’on a = F(A, <p), = F(A, a), il en résulte 
=F(A, p) - F(/t, «) = F(A, 0'), 
.K^+a) = F(;t) p) + F(/t> B) _ 
— Hog. 
* & 0( i+û )> 
Ci