i 7 8 fonctions elliptiques, 
Dans tous les cas, il sera facile de tenir compte de la petite distance 
qu’il peut y avoir entre le point M„ et l’un des points A et B, pour en 
déduire une valeur encore plus approchée de la fonction F (c, <p„), et 
par conséquent une de la fonction F (c, <p). 
208. Remarquons enfin que le polygone dont nous avons donné la 
construction sera rentrant sur lui-même, et par conséquent n’aura qu’un 
nombre de côtés déterminé, si la fonction F(c, <p) est dans un rapport 
rationnel avec la fonction complète F'c. En effet, si l’on a F(c, <p)=^ F'c , 
m et n étant des nombres entiers, on aura F.(c, <p„) = nF(c, (p) = mF’c 
/ m,7r\ . , , _ m.7r 
= r ( c, —) , et par conséquent <p„ = —, ou 2(p n — m7i. 
Si m est un nombre pair, l’arc 2<p„ sera composé d’un nombre entier 
™ de circonférences, et le point M„, extrémité de l’arc 2<p„, reviendra au 
point A, où le polygone sera entièrement fermé; dans ce cas, le polygone 
n’aura que n côtés, formant ™ révolutions. 
Si m est un nombre impair, le point M„ tombera à l’autre extrémité R 
du diamètre AB; une moitié seulement du polygone sera formée, et il 
faudra doubler le nombre des côtés pour que le dernier, dont le rang 
est 2«, soit terminé au point A. Le polygone aura donc 2n côtés for 
mant m révolutions. 
Dans tout autre cas où le rapport de F (c, <p ) à F’c n’est pas ra 
tionnel, le polygone aura un nombre infini de côtés, et il sera im 
possible que deux sommets se rencontrent en un même point de la 
circonférence. 
En général , comme les côtés du polygone sont des cordes inscrites 
dans le cercle dont le rayon est 1, lesquelles doivent être en même 
temps tangentes au cercle excentrique, dont le rayon est r, il est visible 
que ces cordes seront toujours comprises entre la plus grande, qui pas 
serait par le point - a, et la plus petite, qui passerait par le point h , ab 
étant le diamètre du petit cercle situé dans la direction du diamètre AB. 
Ainsi, faisant cos cl = r — e et cos C z= r -J- e, les côtés du polygone 
seront toujours compris entre un maximum 2sina = 2p / [i — (r—e) 1 ] 
et un minimum 2 sin £ = 2\/[i — (r-f- e/] ; on aura donc toujours, 
quel que soit le nombre entier n, 
<Pn — <Pn-, < * et <p„ — (p„_, > C. 
209. Nous avons vu que m étant pair, ce qui suppose n impair = 2/-f-1