i8o FONCTIONS ELLIPTIQUES,
contraire, si m est impairement pair, ou de la forme 4^ + 2, l’arc — tt,
égal à 2¡LiTT -f- 'Tt, aura son extrémité en B, de sorte que l’arc u> ne pourra
être que l’arc £, dont le double est sous-tendu par la plus petite corde.
Ainsi, dans tous les cas, on aura la valeur des arcs 2(p t et 2(p i+I sans au
cune indétermination, et l’on saura que le coté moyen 2<p i+I — 2(p t est un
maximum si m — 4^, et un minimum si m = 4^ + 2.
210. Il serait possible que la construction géométrique que nous avons
développée conduisît à quelque théorème intéressant, analogue au théo
rème de Côtes, par lequel on pourrait peut-être simplifier l’analyse as
sez épineuse qui sert à déduire <p a de <p , ou réciproquement <p de <p„, ce
qui est le problème de la multiplication ou de la division des fonctions
elliptiques; mais nous n’entrerons dans aucune recherche à ce sujet. Nous
nous bornerons à remarquer encore qu’après avoir formé la suite des arcs
2(p,, 2<p a , 2<p3 2<p nf dont les extrémités sont les sommets du polygone
rentrant qui répond à l’équation F (c, <p) = — F'c, si l’on forme avec
les termes de rang pair la nouvelle suite 2<p a , 2$ 4 , 2<p 6 , etc., cette suite
représentera celle qui servirait h construire le polygone correspondant à
la valeur F (c, <p) = ~F'c. Ce polygone ne serait plus circonscrit à la cir
conférence dont le rayon est r, mais, par la nature des choses, il jouit de
la propriété d’être circonscrîptible à une circonférence plus petite.
De même, si l’on prenait de trois en trois les termes de la série initiale,
ce qui formerait la série 2$ 3 , 2<p 6 , 2<p g , etc., celle-ci répondrait à la valeur
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F(c, p) = — F l c, et il en résulterait un nouveau polygone circonscrip-
tible à une circonférence plus petite que les deux autres, et ainsi de suite,
jusqu’à ce qu’on ait épuisé les n — 1 combinaisons possibles.
Ainsi, on voit qu’une seule construction appliquée à la valeur.....
F (c, <p) = ^ F l c f contient implicitement toutes celles qui conviennent à la
valeur F (c, <p) = ^F’c, m étant un nombre entier quelconque moindre
que n.
