ï88 FONCTIONS ELLIPTIQUES,
T e = Z\Z(jpx) -j- B 0 T 0 -f- B t T t -j- B a T a .... -f-
De là on voit qu’il suffit de considérer dans l’intégrale ff x - les seuls
J y (<px)
cas où l’exposant e ne passe pas A— 2. Ce résultat est général, et il
s’applique aux transcendantes de toutes les classes, à compter de la
seconde.
220. Pour distinguer maintenant les valeurs de e qui appartiennent à
la première espèce et celles qui appartiennent à la seconde, il faut exa
miner la manière dont se forme la quantité 11 (X), d’après l’énoncé du
théorème général; et si l’on se rappelle qu’entre les nombres n, m, A,
A,, A a , qui désignent les degrés des polynômes ôx, 6,x, <px, (p,x, (p a x, on
a trouvé ci-dessus l’équation A, -f- n — m = ~ ou 1 , selon que A
est pair ou impair, on parviendra aisément à la conclusion suivante :
Si l’exposant e, non plus grand que A— 2, est plus petit que ~ — 1 ou
que f l’intégrale J"*se rapportera aux fonctions de la première
espèce; si cet exposant est égal à ^ — 1, ou plus grand que ^ — 1, lors
que A est pair, et sii est égal à -, ou plus grand que - 1 , lors-
que A est impair, l’intégrale se rapportera aux fonctions de la seconde
espèce.
Il est facile de voir en effet que, dans le premier cas, la quantité X, dé
veloppée suivant les puissances croissantes de ^ = u, ne donnera- aucun
terme de la forme Au, et qu’ainsi le terme désigné par H (X) = o ; au
contraire, dans le second cas, le terme Au fera partie de ce développement,
ce qui donnera U (X) = A.
On peut donc, au premier coup d’œil, distinguer parmi les intégrales
^x = J* ce ^ es C I U ^ se ra PP ortent à la première espèce et celles qui
se rapporient à la seconde. Dans le premier cas, on aura C étant
une constante qui aura un certain nombre de valeurs déterminées, suivant
les différentes valeurs arbitraires de x, qui servent à composer la somme
désignée par ; dans le second cas, on aura H^x = G + n (X) ,
n (X) étant une partie algébrique déterminée par un terme du déve
loppement de la fonction X. Dans les deux cas, la partie logarith-
