TROISIÈME SUPPLÉMENT. 201 
F;*' = F£ — F <p 3 , Fjw" == F£ + F<p 3 , 
la quantité précédente s’accordera parfaitement avec celle de Part. 5g , 
présentée sous la forme 
tans 0i 1 -f- c a sin 0 sin d sin 0 sin 4 
* log 
lAb 
n I -f- c sin 0 sin fc" sin <p sin 4" 
Ce premier cas est celui des fonctions de troisième espèce à paramètre lo 
garithmique ; les deux autres se rapportent aux fonctions à paramètre 
circulaire, pour lesquelles la quantité logarithmique se change en arc de 
cercle. 
Soit donc, 2 0 . n= — cot a £, le second membre de notre équation de- 
viendra — log ^ +Z(/ _; / )> en supposant 
COt siîl <p, Sin <p 3 sin Cp3 
Z — 
I COS 2 e cos (p l COS<p2 cos <рз ’ 
mais 
is °« a l°g C, + z^-0 ~J T^TzF~^ = - a v/- I «e tang Z. 
^ ,1 sin £ cos £ . cot £a£ sin tp, sin <Pa sin <рз 
Donc la quantité precedente = = arc tang ——— 
* 1 • ДЬ & 1—COS 2 b COS <f> t COS <pa COS <Рз 
donc pour l’intégrale П(р = J' — 
d* 
-h col 2 S sin 2 <p) Aip 
, on aura la formule 
П<р, + П<р 2 — П(р 3 
£ cos £ 
~Ic 
cot £д£ sin a, sin ® 9 sin (рз 
arc tang -5 — ; 
0 I COS b cos Ç> 1 COS <p2 COS <p 3 
ce qui s’accorde avec la formule (/¿'), tome I er , page y5. 
Un résultat semblable s’obtiendrait dans le troisième cas, où l’on a 
n = 1 — k'• sin 9 £, et qui appartient également aux fonctions de troi 
sième espèce à paramètre circulaire ; mais comme ce cas se ramène facile 
ment au cas précédent, nous croyons inutile de nous en occuper. 
Autre manière de parvenir à la propriété fondamentale des jonctions 
elliptiques. 
2З1. Nous avons partagé la fonction фх en-deux facteurs (p t x = i—к я х л , 
ф л Х — i —oc*; ce qui nous a conduits à une équation du quatrième de 
gré, d’où nous avons déduit les propriétés fondamentales des fonctions 
elliptiques. 
On peut parvenir plus simplement aux mêmes résultats en faisant usage 
d’une autre décomposition de la fonction <px. 
En effet, soit <p t x = 1 -f- x, <p % x = (1 — x) (1 — k*x*). Si l’on fait 
Томе III. 26