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FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, 
§ IX. Examen des propriétés de la même transcendante, en 
supposant successivement jx~l\ et jx ~ 3. 
289. Tous les calculs prëcédens ont été faits dans la supposition de 
/x = 5 ; nous allons maintenant revenir sur nos pas, en réduisant l’é 
quation primitive au quatrième degré ou même au troisième , c’est-à- 
dire en supposant successivement fx — 4 et /* = 3, mais en conservant 
toujours la même valeur de la fonction <px, savoir, <px = 1 — x h . 
Nous formerons ainsi deux nouveaux systèmes, qui auraient dû être les 
premiers dans l’ordre de ces recherches, et qui offriront, comme le sys 
tème de fx = 5, une infinité de manières de comparer entre elles les 
transcendantes 
Pour établir l’équation fondamentale dans le système /x = 4, nous 
prendrons 9x = c -f- x, Q,x 
a 
. m -f- 1 
q> x æ z= 1 -| — x x* , 
<P*x 
(1 — o( i — 
x.- 
-{- X 
■)— 
X. 
m +1 
■X 
m-t-i 
X J 
et alors l’équation (2) deviendra 
(c -f- X) 2 -f- J X -f- x*\ 
(D) 
1 / m -}-1 . „ m -f-1 A 
î_ ad 1 — x 3 J 
= (x-~x,) (x—xj (x — x 3 ) (x—xj. 
On remarquera que nous avons mis c -f- x à la place de c-\-c,x, qu’in 
dique la formule générale; mais, dans le cas présent, lé coefficient de 
je 4 devant être le même dans les deux membres, on aurait la condition 
(c t ) x = 1 , qui permet de prendre c l = 1. 
Il ne reste donc dans notre équation que deux coefficiens a et c à dé 
terminer; pour cela, il faut supposer connues deux des valeurs particu 
lières de x comprises dans la suite OC 1 y OC 2 y OC2 y OC Soient ces deux 
valeurs x = t, x = t', on aura, comme ci-dessus, les équations 
V/(i — * 5 ) 
c —J— t — ciK, A —— 
c —J— t — y 
d’où l’on tirera les valeurs 
A' = 
m -I- 1 
1 + t.—I- -f- e 
2 
»/(■ - O 
, m -j- 1 , o ’ 
1 -f ï.—— f- l a