326 FONCTIONS ULTRA-ELLIPTIQUES, 
ment des fonctions de la première espèce on peut passer successive 
ment aux fonctions plus composées comprises dans la formule générale 
~\,x = iw- - X l)\/{(px) ’ ei c l ue ^ es sont Ls propriétés nouvelles que l’on 
obtient constamment dans la comparaison de ces dernières fonctions. 
Le sujet de ces recherches est des plus vastes, et nous n’avons pu que 
l’ébaucher fort imparfaitement; mais nous en avons dit assez pour que 
la théorie des nouvelles transcendantes que nous appelons ultra-ellip 
tiques puisse être regardée maintenant comme établie sur les fonde- 
mens les plus solides. M. Abel, enlevé aux sciences avant l’âge de 
27 ans, avait fait preuve d’un génie extraordinaire dans les savans 
Mémoires où il avait perfectionné si notablement la théorie des fonctions 
elliptiques ; mais la profondeur de ses conceptions nous paraît encore 
plus fortement empreinte dans le beau théorème qui donne naissance à 
une théorie beaucoup plus étendue que celle des fonctions elliptiques, et 
dont il n’existait aucune trace avant lui. 
§ XL Exemple du calcul de deux fonctions imaginaires. 
3i5. On a trouvé ci-dessus (248) qu’en supposant t = o et c = o, les 
deux auxiliaires qui doivent se joindre â la valeur donnée t = 0, pour for 
mer le premier membre de l’équation (5), sont les racines de l’équation 
x a 
m 
x -f- m -f- 1 = o. 
Ces racines étant imaginaires, nous- les représenterons à l’ordinaire 
par la formule 
x — r( cos 9 dtz \/— 1 sin 8), 
et nous nous proposons de calculer les fonctions correspondantes, ou seu 
lement leur somme, qui sera une quantité réelle. 
Voici d’abord les élémens du calcul : 
r = v/(m + 1) = i-79 8 9° 74^99 4? 8 > 
log r = o.255oo 8817g 56g65, 
cos 6 = 4^”^77) = s/irïr 1 )» b cos ^ = 9* 2 5497 55 4 81 29104, 
8 = 8o° 6’3i ,/ ,i4oi 128.