3o FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
Alors, i°. si mz=2.h, la formule à démontrer sera 
M 
tang (45° + i a am ) = —- 
(p — 2m) (p) M A 1 {p — 2m) (p) 
(p 4- 2/?i) 
(/>) 
parce qu’on peut supposer M= {p — 2m) (p -|- 2m). 
2°. Si m = 2^ -}- i, le facteur moyen (/?), qui était dans le cas précédent 
au dénominateur, se trouvera dans le numérateur, et l’on aura 
tang (45° + a ct am ) = ^ = j~—- m) , valeur qui est la meme que 
y car on a M = (p — 2/ra) (p -f- 2m) = (p) (p). 
Ainsi, lorsque nous aurons prouvé que le produit (p— n) (p-\~n) est 
une quantité constante, il ne restera plus à démontrer que la seule formule 
(p + 2 m) 
ÌP) 
tang (45° + i etj) 
35. Or, i°. en rétablissant les valeurs des symboles, on a 
(p -n){p + n) = *■*■»>►-) «"«‘Sfri* 
Mais on voit que les amplitudes a i( , + ^, appartiennent à des fonc 
tions complémentaires, puisqu’on a Fa,^__^=—~F 1 k, l k, 
et que la somme de ces deux fonctions = F l k ; on a donc, par la propriété 
des fonctions complémentaires, 
tane a., , tang et = L et A a,. . Aa w . . —k\ 
b Kp—i») b ï(p+n) h' 7 i(p—») ï(p+n) ’ 
ce qui donne (p — n) {p + n) = p- et Q?) = p 
2°. En restituant de meme la valeur des symboles, la formule qui reste 
émontrer e 
sa valeur Act i 
k 1 tang 
à démontrer est tang (45° -f- f cl 2m ) = —- mettant au lieu de k' 
a {p+im) 
A a,, ,, on aura 
■ (p+am) y (p—2m) 
tang (45» + 4 *„) = tang 
Pour vérifier cette équation , élevons chaque membre au carré, nous 
aurons 
I + shl “am . a „ Aa „ 
l — sin a am an £ t(p+am) ¿(p—am) ’ 
* 1*1 S1H Ci« S1I1 Ctjjni . i j \ I 
et parce que a, == - w, le premier membre = et d a pres le