38 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
second théorème F (A, «\J,) = /¿'F (A, œ) comme une combinaison des deux 
équations F(A, (p)=pF(A, et F (A, co) = pF(k, <p). 
Dans le cas de p = 2 , nous aurons à combiner les deux équations 
F(A, <p) = 5- (1 -f- h) F {h, •sf') , F(A, ¿y) = 2F (A, (p) ; d’où résulte l’équa 
tion du second théorème, F (h, ^) = ^ --j- — F (A, ¿y) ; elle donne p! = , 
et par conséquent ipp! ■=: 1, conformément à la loi générale ppu 1 — 1. 
Pour avoir une équation entre les amplitudes co et «vJ., il faut éliminer ¡p 
des deux équations de cette sorte qui répondent aux deux formules.... 
F {k, <p) = £ ( 1 -{- h) F {h , -v|/), F (k , où) = 2F (A, <p) ; ces deux équations 
sont 
sin ^ == * tan ë Ï « = tang (p[/(i — A a sin* (P), 
et l’on en déduit, par l’élimination de <p, l’équation cherchée 
(8 2 ) 
SI II Où 
_ (1 -j- A) sin ■vp 
I + Â sin 3 4' ’ 
résultat qui s’accorde avec celui que nous avons trouvé art. 68, tome 1 er . 
45. Nous remarquerons enfin que dans la formule du premier théorème 
on a tang «4, ou tang <p 0 = ^ Ainsi, tang <p 0 s’exprime ration 
nellement par tang <p j de meme, tang (p 00 s’exprime rationnellement par 
tang <p° : donc, dans la suite des amplitudes <p , <p°, <p°°, <p°°°, etc., qui cor 
respondent aux modules décroissans k, A 0 , A 00 , etc., ou, dans nos nouvelles 
dénominations, A, A, h t , A,, etc., la tangente d’une amplitude affectée à 
un terme quelconque s’exprime toujours rationnellement par la tangente de 
l’amplitude du premier terme, c’est-à-dire par tang (p. Mais sin <p° ne s’ex 
prime pas rationnellement par sin (p. 
Dans la formule du second théorème, F (A, -vJ,) = p/F (A, ¿y), qui se lie 
avec d’autres formules semblables F (A, co) = p! x F (A,, ¿y,), F (A,, ¿y,) 
= F ( A a , ¿y a ), etc., on voit que sin où s’exprime rationnellement par 
sin %[/, et qu’ainsi, dans la suite des amplitudes •vj'j ¿y r > &>* ■> qui ré 
pondent aux modules croissans A, A,, A,, etc., le sinus d’un terme 
quelconque s’exprimera rationnellement par le sinus du premier terme %[/, 
comme cela a lieu dans l’échelle construite pour tout nombre impair.