42 FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
détermination des termes de cette échelle, et celle des régulateurs ///, s’é 
tablit sur des données différentes. 
Nous avons vu que c’est d’après le module h', complément du module 
donnée, que l’on doit calculer les quantités £,, £ a , £ 3 , etc., qui satisfont, 
en général, à l’équation F(Ji\ £,„) = Au moyen de ces 
quantités et du nombre donné p, les formules du théorème II offrent 
différens moyens de calculer le module k et le régulateur p! ; alors tout 
devient connu dans la formule qui détermine sin co par le moyen de 
sin 4, : on voit d’ailleurs que les variables ¿y et 4 croissent dans une pro 
portion assez rapprochée de l’égalité , puisqu’elles parviennent simultané 
ment de la valeur o à la valeur 4 rt •> et à toute valeur multiple de ~ tt ; 
de sorte qu’elles appartiennent toujours au même quadrant, et que leurs 
sinus sont toujours de même signe. On obtient donc ainsi la transformation 
F {h, 4) = (^j &)•> dans laquelle le module donné h est remplacé par 
un module plus grand h. On répétera les mêmes opérations pour rem 
placer le module k par le module plus grand k 1 , celui-ci par un mo 
dule encore plus grand k a ; et ainsi à l’infini. Ces modules occupent dans 
l’échelle correspondante au nombre p, la partie croissante /¿, k, k n k a , etc., 
dont la limite est l’unité, et les transformées successives de la fonction 
F (h, 4)? seront données par les formules 
F (h, 4) — U r F {k , co) , F (Je, co) — p'J? (Æ,, ¿y,) , 
F (k,, co,) = ¿¿'.F(k a , co a ) , etc. 
49. Supposons ensuite qu’on veuille faire , dans un ordre inverse , les 
transformations de la fonction F (A, 4)5 de manière que son module h 
soit remplacé successivement par les différens termes de la série décrois 
sante h, h,, h a , etc., on rencontrera la même difficulté que Je change 
ment de direction a fait naître dans l’usage du théorème I er . Les for 
mules directes qui s’appliquent à l’ordre des modules croissans donnent 
k et p’ en fonctions de h 1 complément de h ; elles donnent en même temps 
sin co exprimé par une fonction rationnelle de sin 4- Dans la marche in 
verse, il faut déduire h et p' de k, ce qui ne peut se faire que par des 
procédés semblables à ceux que nous avons indiqués ; et, d’un autre côté, 
on ne peut déduire sin 4 de sin M que P ar L résolution d’une équation 
du degré p. C’est ainsi qu’on aura la première formule de transformation 
F {k , co) = 4r F (h, 4)? 011 F(Æ, œ ) = ^F (Æ, 4)- f* ar de semblables 
p \ 
opérations , on trouve