s régulateurs ///, s’é- 
PREM1ER SUPPLÉMENT. 
nplément du module 
s, etc., qui satisfont, 
Au moyen de ces 
théorème II offrent 
la te u r j alors tout 
co par le moyen de 
)issent dans une pro- 
rviennent simullané- 
;ur multiple de ~tt 
ladrant, et que leurs 
insi la transformation 
lé h est remplacé par 
péralions pour rem- 
lelni-ci par un mo- 
idules occupent dans 
nte Æ, k, k,, A- 9 , etc., 
issives de !a fonction 
F (ky, co,) , 
in ordre inverse , les 
e que son module h 
de la série décrois- 
3ulté que le change- 
éorème 1 er . Les for 
es croissans donnent 
lient en même temps 
Dans la marche in- 
se faire que par des 
et, d’un autre côté, 
ution d’une équation 
île de transformation 
). Par de semblables 
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F {h, 4) = »'.F (h,, 4,), F(A,, 40 = /.F (A., 40, etc., 
de sorte que le module donné h sera successivement remplacé par les diffé- 
rens termes de la série décroissante h, h x , /¿ 9 , etc. 
On voit par là que le théorème II fournit une seconde solution du pro 
blème dans lequel il s’agit de transformer une fonction donnée F (h, 4) 
en une inimité d’autres qui aient pour modules les différens termes de la 
même échelle déjà construite pour le module k, et correspondante au 
nombre impair donné p. La transformation se fait immédiatement par les 
formules du théorème II, pour passer du module h aux modules croissans 
k, k x , Æ a , etc.; elle se fait avec moins de facilité, et en exigeant pour 
chaque amplitude la résolution d’une équation du degré p, lorsqu’il s’agit 
de passer du module h aux modules décroissans h x , \, etc. Mais, dans tous 
les cas, la solution peut toujours se faire algébriquement, c’est-à-dire 
par la résolution d’un certain nombre d’équations algébriques d’un degré 
déterminé. 
5o. Indépendamment de ces deux grands moyens de transformation qui 
s'appliquent à tout nombre impair donné p, il en est un troisième qui par 
ticipe des deux, et qui n’emprunte de chaque théorème que la partie la 
plus facile, où il n’y a pas d’équation à résoudre pour passer de l’am 
plitude de la fonction donnée à l’amplitude de la fonction transformée. 
En effet, supposons que, par un procédé dont nous donnerons bientôt 
les détails, on ait formé, d’après le module donné k, et dans telle étendue 
qu’on voudra, l’échelle des modules 
i ) «. • • k 3 -, A a , k x , k, h, à,, /¿ a , /¿3.... (o 
qui répond au nombre impair donné p. On pourra, par les formules du 
théorème I er , transformer la fonction, en la faisant passer du module k 
aux modules décroissans h, h x , A a , etc. ; et, par les formules du théo 
rème II, les transformations pourront être dirigées pour passer, avec la 
même facilité, du module k aux modules croissans k t , /r 9 , k 3 , etc. 
Dans ces deux séries de transformations, l’amplitude de chaque fonction 
se déduira de l’amplitude de la fonction précédente, au moyen d’une for 
mule (32) ou (44), dans laquelle le sinus inconnu s’exprime rationnellement 
par le sinus connu. A l’égard des régulateurs qui servent à former les équa 
tions F (k, (p) = (h, 4), F (h, 4) = ^iF (h x , 40, etc. , ils se déter 
minent, soit par les formules propres au théorème I er , soit par les formules 
plus simples ^i=-*g;, ^ == ^*h _ 2 ’ etc> Un aura de meme ? 
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