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FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
mais on peut parvenir à un résultat beaucoup plus général en observant 
que le calcul qui a été fait pour éliminer K et H de l’équation 
H 2 h h'* dh , , 
p — = qr == -j-pi. ^ , suppose K et H déterminés cbacun par l’équation 
différentielle qui lui est propre. Or, d’après ce que nous avons démon 
tré (n° 4 7 y tome 1 er ), on peut mettre a R a'R' à la place de R, et 
êH -f- £'EE à la place de H, sans que les équations différentielles dont 
il s’agit cessent d’avoir lieu; donc notre équation différentielle du troi 
sième ordre est satisfaite par l’équation transcendante beaucoup plus 
générale 
K mH + m'îV 
K/ nH -f- «H'* 
En effet, par cette équation, on aurait d’abord 
H'dll — UdR' dh kV* _ (mH + ire'H') a 
R'dR — R^R' """ dk ’ hli 2 (mn — ntiî)R a * 
et en comparant ce résultat à celui que nous avons trouvé par la simple sup— 
..RH 
position Zg, SS p g; , savoir , 
dh kk^ _ H a 
dk * htí % ““ P R a ’ 
nous voyons que, comme on peut faire abstraction des facteurs constans qui 
disparaissent dans le résultat, la seule différence que peut présenter l’élimi 
nation de H, R, H', R', dans les deux hypothèses, consiste à substituer 
dans le calcul que nous avons fait mH -f- m'H' à H. Or, l’équation diffé 
rentielle du second ordre qui détermine H étant telle qu’elle reste la même 
en substituant à H, il est évident qu’on aura pour résultat la 
même équation différentielle du troisième ordre que nous avons trouvée 
entre k et h ; donc cette équation a généralement pour intégrale l’équa 
tion transcendante 
R mW -f- mW 
R' ““ nïi -f- nW ’ 
où il y a trois constantes arbitraires - , - , - , et qui en est par consé- 
J m 7 m 7 m 1 
quent l’intégrale complète. 
En cela nous trouvons un nouvel exemple de l’utilité des fonctions el 
liptiques pour faire découvrir, en certains cas, des intégrales qui seraient 
tout-à-fait inaccessibles aux méthodes vulgaires. 
8i. Nous remarquerons, en finissant, que les termes k et h, que nous