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Full text

Title
Contenant divers supplèmens à la théorie des fonctions elliptiques
Author
Legendre, Adrien Marie

66
FONCTIONS ELLIPTIQUES,
mais on peut parvenir à un résultat beaucoup plus général en observant
que le calcul qui a été fait pour éliminer K et H de l’équation
H 2 h h'* dh , ,
p — = qr == -j-pi. ^ , suppose K et H déterminés cbacun par l’équation
différentielle qui lui est propre. Or, d’après ce que nous avons démon
tré (n° 4 7 y tome 1 er ), on peut mettre a R a'R' à la place de R, et
êH -f- £'EE à la place de H, sans que les équations différentielles dont
il s’agit cessent d’avoir lieu; donc notre équation différentielle du troi
sième ordre est satisfaite par l’équation transcendante beaucoup plus
générale
K mH + m'îV
K/ nH -f- «H'*
En effet, par cette équation, on aurait d’abord
H'dll — UdR' dh kV* _ (mH + ire'H') a
R'dR — R^R' """ dk ’ hli 2 (mn — ntiî)R a *
et en comparant ce résultat à celui que nous avons trouvé par la simple sup—
..RH
position Zg, SS p g; , savoir ,
dh kk^ _ H a
dk * htí % ““ P R a ’
nous voyons que, comme on peut faire abstraction des facteurs constans qui
disparaissent dans le résultat, la seule différence que peut présenter l’élimi
nation de H, R, H', R', dans les deux hypothèses, consiste à substituer
dans le calcul que nous avons fait mH -f- m'H' à H. Or, l’équation diffé
rentielle du second ordre qui détermine H étant telle qu’elle reste la même
en substituant à H, il est évident qu’on aura pour résultat la
même équation différentielle du troisième ordre que nous avons trouvée
entre k et h ; donc cette équation a généralement pour intégrale l’équa
tion transcendante
R mW -f- mW
R' ““ nïi -f- nW ’
où il y a trois constantes arbitraires - , - , - , et qui en est par consé-
J m 7 m 7 m 1
quent l’intégrale complète.
En cela nous trouvons un nouvel exemple de l’utilité des fonctions el
liptiques pour faire découvrir, en certains cas, des intégrales qui seraient
tout-à-fait inaccessibles aux méthodes vulgaires.
8i. Nous remarquerons, en finissant, que les termes k et h, que nous