76 FONCTIONS ELLIPTIQUES , 
ou, en remettant les valeurs de u et de v, 
/ i 1 \ 4 
/o \ ( A 4 -f- A 4 ' 
{020) 1 1 
x -f- A 
A 4 — A 4 
i — A ' 
i — A 
x -f- A* 
Cette formule, pour le cas de/? = 5, a une analogie assez remarquable avec 
celles qui ont été trouvées n° 85, pour le cas de p — 3. 
g5. L’équation (82) étant du sixième degré, par rapport aux deux 
quantités u et e, on voit qu’il faudra résoudre une équation de ce degré 
pour déduire immédiatement le module h du module donné k, ou, ré 
ciproquement , k de h j mais j’observe qu’en continuant le calcul pour 
avoir les autres termes de l’échelle, soit dans l’ordre croissant, soit dans 
l’ordre décroissant, on n’aura jamais qu’une équation du cinquième degré 
à résoudre pour passer d’un terme au terme suivant. En effet, si de la va- 
leur u=zy/k on a déduit la valeur v z=\/hz=: g, et qu’ensuite , 
de la valeur u = \/h = g on veuille déduire la valeur suivante. ... 
4. 
vz=z\/h l = g,, l’équation en v sera satisfaite en posant vz=. — de sorte 
qu’en la divisant par v -J-jf, elle sera réduite au cinquième degré. 
Cette propriété résulte de ce que, dans l’équation générale 
u 6 — o 6 -f- (w a — t> a ) — \uv (ï — ¿¿V 4 ) = o , 
on peut changer à la fois u en v et v en — u. 
La même réduction aura lieu lorsqu’on voudra prolonger l’échelle dans le 
sens des modules croissans k, A:,, A a , etc. 
96. Les formules précédentes donnent le moyen d’exprimer en fonctions 
de a toutes les quantités constantes qui entrent dans les équations (78). 
Nous avons déjà trouvé u=z—^— ; la valeur de A a se déduira de l’é- 
J 1 1 -f- 2 a 7 
quation A:* = mb*, qui donne 
(83) ai* ,=(,+« a‘) : 
de sorte que si l’on fait k = sin^, on aura 
cos2 > = ( a ‘-a-,) v /(i±^), 
ou plus simplement encore 
(84)v 
sin* 2y = 
2 a 5 — a 6 
1 -f- 2 a’ 
Soit a! une seconde auxiliaire tellement liée avec a, qu’on ait