THÉORIE DU POTENTIEL NEWTONIEN 
Remarque. — Supposons que le pointM s’éloigne indéfiniment, 
tendra vers 0. Au contraire, 'V'm log — tendra vers—oo. 
Ainsi l’on peut dire qu’à l’infini le potentiel newtonien s’annule, 
au lieu que le potentiel logarithmique est égal à — oc . 
4. Equation de Laplace. — Formons les dérivées secondes 
Ô 2 Y ô 2 Y 0 2 V 
—-r, -v—5, -r—5, du potentiel newtonien en un point distinct des 
ox“ oy- oz- 
points attirants. 
é 2 V ^ ( a — x ) 2 111 
Ox 2 /j r 5 /j r 3 
0 2 V 
ô y 
YV 
:ìV... 
Dz 
n c- 
m 
V — 
Zj r 3 
y m 
i~r r * 
Ajoutons ces trois relations membre à membre et appelons, 
suivant la notation connue, AY la somme des trois dérivées 
secondes que nous venons de calculer ; il vient : 
AV 
3 T 
n x 
m —— 
a) 2 + (y — b) 2 -j- (z — c) s 
=3 y”- 3 V4=o. 
/j r' 
Le potentiel newtonien satisfait donc, dans Vespace à trois 
dimensions, à Véquation de Laplace AV = 0 en tout point distinct 
des points attirants. 
Pareillement, le potentiel logarithmique satisfait, dans le plan, 
d*V " 0 2 V A „ , . 
U que l on écrit encore 
à Véquation de Laplace - — 
Dy 2 
AY —0. On a en effet pour ce potentiel : 
0 2 V 
éx 2 
0 2 V 
Oy 2 
2 V m 
Là 
2^ m 
( a 
(b-y) 2 
VI m 
'LTF' 
Y m 
'2j r 2 •