FONCTION DE GREEN ET PROBLÈME DE DIRICIILET 1^7 
1° Supposons h positif ; g l’est aussi et, si S' est assez grand, 
on a : 
h 7 < h et g' < g, 
et, par suite, 
g > V > h', 
ou 
g > Y > 0, 
dans tout l’espace extérieur à S. 
2° Supposons 
g > 0 >h, 
on a : 
g > g'» 
h < h', 
et, dans tout l’espace extérieur à S : 
3° Supposons 
g > Y > h. 
()> Y > h, 
on voit de la même façon que, dans tout l’espace extérieur à S, 
V est constamment négatif. 
C’est un de ces trois cas qui se présente, pour le potentiel dù à 
des masses situées à distance finie. 
III. Reprenons le cas d’un domaine limité compris à l’intérieur 
d’une surface S; on a les inégalités 
g > V>h : dans T, 
g ^ Y ^ h : sur S. 
Si donc, en tout point de S, la fonction est nulle, elle est nulle 
aussi, en tout point de T. 
IV. — Soit une fonction V, harmonique dans tout l’espace et 
s’annulant a l’infini. Je dis (pie l’on a V^^O dans tout l’espace, 
traçons, en effet, une sphère de très grand rayon; les valeurs 
de V, a l’intérieur de la sphère, sont comprises entre le maximum g 
et le minimum h, lesquels sont atteints parla fonction sur la sur- 
lace et tendent par suite vers zéro, quand le rayon de la sphère 
croit indéfiniment; Y tend donc vers zéro, à l’intérieur de la