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RESOLUTION DU PROBLEME DE DIRICULET 211
à l’intérieur cl’une sphère S, sauf au centre O. Entourons ce
point d’une petite sphère S 0 . On a :
v=ï ? "X„+ï-^v,
Г
pour p compris entre p, et p 0 . Mais p 0 est quelconque. Donc cq
développement est valable pour tout le domaine limité par S r
Si on a :
m <#k
Q
i
'f (p) tendant vers zéro en même temps que p, on voit comme
ci-dessus que X n est nul.
Donc si :
K
<
-n + 1
on peut écrire :
V = Zp“X„
X 7
X'
X
La démonstration est la même que pour la proposition analogue
du paragraphe précédent. Dans ce cas, le produit p n V reste fini
ii l’origine.
Si la fonction Y est en outre harmonique et régulière à l’exté
rieur de S, et même a l’infini, on a simplement :
X' X' X'
лт n . J v 1 ^ v n _ 1
y«
Enfin si on a en plus :
IVK-f,
\ se comporte comme un potentiel ii l’infini et alors on a :
il
0
Y
97. Théorème de Harnack. — Soit un domaine T. Considérons
une suite de fonctions :
u 1? u 2 ,.
■,u.
définies dans ce domaine. Nous ferons les hypothèses suivantes :