RESOLUTION DU PROBLEME DE DIRICIILET 
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regardée comme le potentiel en un point de T d’une double 
couche homogène portée par S. Donc W-(- C est encore un poten 
tiel de double couche. 
Le problème intérieur de Dirichlet est donc résolu dans tous les 
cas au moyen d’une double couche portée par S. 
148. P assons maintenant au problème extérieur. Nous allons 
voir que la même conclusion ne subsiste plus : si C est différent 
de zéro, on ne peut plus résoudre le problème en question en se 
servant seulement d’une double couche portée par S. 
Tout d’abord, il est clair que l’on ne peut plus employer l’ar 
tifice qui a conduit à trouver la solution générale du problème 
intérieur. En effet, il est toujours possible de former la fonction 
harmonique W qui tend vers <I> — C quand on s’approche indé 
finiment de S par l’extérieur. La fonction AV C vérifie bien 
encore l’équation de Laplace. Mais ce n’est pas une fonction har 
monique, car elle n’est pas régulière ii l’infini, AV l’étant et C 
étant une constante. De plus, il est exact (pie W est un potentiel 
de double couche ; mais la constante C ne peut pas être regardée 
ici comme le potentiel en un point extérieur d’une douille couche 
homogène portée par S, car un tel potentiel est nul dans tout 
l’espace extérieur à S. 
D’ailleurs nous avons vu (§ 135) qu’il existait une condition 
nécessaire pour que le problème extérieur de Dirichlet soit réso 
luble par le potentiel newtonien d’une double couche de matière 
attirante répandue sur S. Or: 
C =0 
est une condition suffisante. (Lest alors la condition nécessaire et 
suffisante en question. 
Voyons donc comment la méthode de Neumann permet de 
résoudre le problème extérieur de Dirichlet quand la constante C 
n’est pas nulle. 
149. Soit AA’ un potentiel de double couche. 
Prenons un point AI ii l’extérieur de S (fig. 87) et un point 0 à 
l’intérieur. Puis posons : 
OM=p.