INTÉGRALES CONVERGENTES ET SEMI-CONVERGENTES 71 
Appelons £ le rayon de C', p celui de C et passons en coordonnées 
polaires ; on a : 
J c . = / cos 0cl0 f -^-=(sin2~—sin 0) log — = 0. 
do Ji 1' ^ 
Ainsi J c/ est constamment nulle. Sa limite est 0, quand £ tend vers 
zéro. L’intégrale X est donc convergente. 
O O 
Montrons qu’elle est semi-convergente, c’est-à-dire que l’inté 
grale 
ne converge pas. 
Cette intégrale, étendue à tout le cercle, est égale au double de 
l’intégrale 
étendue au demi-cercle BCAB. 
Calculons donc celle-ci ; si elle a un sens, elle est la limite de 
la portion correspondante de J c , relative à la demi-couronne 
BCAEFDB. Or, celle-ci est égale à : 
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quantité qui augmente indéfiniment quand £ tend vers zéro. L’in 
tégrale X est donc semi-convergente. On peut démontrer de plus : 
étant convergente, elle a une limite quand on entoure le point O 
d’une courbe C', puisqu’on calcule l’intégrale relative à l’espace 
compris entre les deux courbes, et enfin qu’on fait évanouir C 
au point O ; mais, étant semi-convergente, sa limite dépend de la 
courbe C' et de la succession des formes que prend cette courbe 
avant de s’évanouir au point O. 
C’est ce que je vais montrer. 
Supposons d’abord que C soit une circonférence concentrique 
à C; la raison de symétrie, comme aussi le calcul fait précédem 
ment, montrent que l’attraction de la couronne au point O est 
nulle. Etant nulle constamment, elle définit une limite nulle, 
quand C' vient s’évanouir au point O.